Question

DETERMINE A EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA R QUE PASSA PELO PONTO P E É PARALELA Á RETA S. NOS SEGUINTES CASOS:

A) P(2,5) E (S) 3X+Y-2=0
B) P(0,1) E (S)-4X-Y+2=0

Answer 1

Dada uma equação de reta na sua forma geral

    $\mathsf{s:~~ax+by+c=0}$

as equações de todas as retas r paralelas a s podem ser escritas na forma

    $\mathsf{r:~~ax+by+c_1=0}$

para algum c₁ real.

Basicamente, os coeficientes das variáveis x e y nas equações de s e r permanecem os mesmos (ou no mínimo são proporcionais entre si). Dessa forma, para encontrar a equação da reta r, basta encontrar o valor da constante c₁. Por último, isole y em função de x para escrever a equação reduzida da reta r.

A)  $\mathsf{P(2,\,5)}$  e $\mathsf{s:~~3x+y-2=0}$

A equação geral da reta r procurada deve ser na forma

    $\mathsf{r:~~3x+y+c_1=0}$

Como $\mathsf{P\in r,}$  substituindo as coordenadas de P na equação acima, obtemos

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad 3\cdot 2+5+c_1=0}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 6+5+c_1=0}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 11+c_1=0}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad c_1=-11\qquad\checkmark}$

Logo, a equação de r na forma geral é

    $\mathsf{r:~~3x+y-11=0}$

Passando para a forma reduzida, isto é, isolando y em função de x:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad r:~~y=-\,3x+11\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

B)  $\mathsf{P(0,\,1)}$  e $\mathsf{s:~~-4x-y+2=0}$

A equação geral da reta r procurada deve ser na forma

    $\mathsf{r:~~-4x-y+c_1=0}$

Como $\mathsf{P\in r,}$  substituindo as coordenadas de P na equação acima, obtemos

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad -4\cdot 0-1+c_1=0}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 0-1+c_1=0}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad c_1=1\qquad \checkmark}$

Logo, a equação de r na forma geral é

    $\mathsf{r:~~-4x-y+1=0}$

Passando para a forma reduzida,

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad r:~~y=-\,4x+1\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

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Bons estudos! :-)