Question

Determine a equação reduzida da reta perpendicular à reta $r : x - y + 8 = 0$ e distante $\sqrt {2}$ unidades do ponto A (1, 2).​

Answer 1

Resposta:

Y=-x+1 ou na forma geral x+y-1=0

Explicação passo-a-passo:

X-y+8=0

-y=-x-8

Y=x+8

Uma reta perpendicular a está terá o coeficiente angular oposto do inverso desta.

Inverso de 1=1

1 o oposto de -1

Y=-x+c

Na forma geral

X+y-c=0

C será o coeficiente linear

D=|a*x+by-c|/√a²+b²

√2=|1+2-c|/√1²+1²

2+-=|3-c|

|3-c|=+2

-c=-1

C=1

|3-c|=-2

-c=-5

C=5

Y=-x+1

Answer 2

Uma reta é perpendicular a outra quando:

m1.m2 = -1

Onde:

1. m1 é a inclinação ou declividade da reta 1.
2. m2 é a inclinação ou declividade da reta 2.

Para a reta r, o valor de m1 pode ser calculado comparando com a equação reduzida:

y = mx + n

Para comparar, reescreva:

x - y + 8 = 0

y = 1.x + 8

=> m1 = 1

Logo, a inclinação da segunda reta será:

m1.m2 = -1

1.m2 = -1

=> m2 = -1

Feito isso, o próximo passo é entender que para um ponto B estar raiz(2) distante do ponto A, a reta r deve conter esse ponto B. Nesse sentido, devemos descobrir quais coordenadas do ponto B.

Existem infinitos pontos, que formam uma circunferência e que estão a raiz de 2 distantes de A.

Dessa forma, perceba que devemos achar um ponto cuja inclinação da reta seja -1 e que pertença ao círculo. Isso nada mais é que a derivada.

d(A,B) = raiz((x-1)^2 + (y-2)^2)

raiz(2) = (x-1)^2 + (y-2)^2

Derive ambos os lados

d(raiz(2))/dx = d(x-1)^2/dx + d(y-2)^2/dx

0 = 2(x-1) + 2(y-2).y'

y' = -2(x-1)/2(y-2)

y' = -x + 1/y-2

Queremos que y' seja -1

-1 = -x + 1/y-2

-y+2 = -x + 1

x = y - 1

Ou seja, na equação do círculo:

raiz(2) = raiz((x-1)^2 + (y-2)^2)

raiz(2) = raiz((y-1-1)^2 + (y-2)^2)

2 = (y-2)^2 + (y-2)^2

1 = (y-2)^2

1 = |y-2|

y = 3

ou

y = 1

Logo,

x = 3 - 1

x = 2 <= Para y = 3

x = 1 - 1

x = 0 <= Para y = 1

Assim, o ponto B:

B = (2,3) ou B = (0,1)

E a equação reduzida é:

y = mx + n

y = -x + n

Para B = (2,3):

3 = -2 + n

n = 5

Finalmente,

y = -x + 5

Ou para (0,1)

y = -x + n

1 = n

y = -x + 1