Determine a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos A (0,6), B (3,0) e C (0,-2)e possui reta diretriz paralela a um dos eixos coordenados
Soluções para a tarefa
A equação dessa parábola é (y - 2)² = -4.(x - 4).
Note que a parábola passa por dois pontos que estão no eixo y, isto significa que sua reta diretriz é paralela a este eixo, sendo assim, a equação reduzida dessa parábola tem a forma:
(y - y0)² = 4p(x - x0)
Como temos três pontos e precisamos encontrar x0, y0 e p, podemos montar um sistema de equações:
(6 - y0)² = 4p(0 - x0)
(0 - y0)² = 4p(3 - x0)
(-2 - y0)² = 4p(0 - x0)
y0² - 12y0 + 36 = -4p.x0 (I)
y0² = 12p - 4p.x0 (II)
y0² + 4.y0 + 4 = -4p.x0 (III)
Note nas equações I e III que podemos igualar os segundos membros:
y0² - 12.y0 + 36 = y0² + 4.y0 + 4
16.y0 = 32
y0 = 2
Substituindo y0 na equação I:
2² - 12.2 + 36 = -4p.x0
4 - 24 + 36 = -4p.x0
16 = -4p.x0
Substituindo este resultado na equação II:
2² = 12p + 16
12p = -12
p = -1
Substituindo p no resultado anterior:
2² = 12.(-1) - 4.(-1).x0
4 = -12 + 4.x0
16 = 4.x0
x0 = 4
A equação da parábola é:
(y - 2)² = -4.(x - 4)