Question

determine a equação log2 (x-2)+ log2 (x-3)=1+log 2 (2x-7)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Tamirys, que a resolução é simples.
Tem-se:

log₂ (x-2) + log₂ (x-3) = 1 + log₂ (2x-7) .

Bem, antes de qualquer coisa, vamos encontrar quais são as condições de existência para cada um dos logaritmos aí em cima. Veja que só há logaritmos para números positivos, ou seja, para números maiores do que zero. Então deveremos impor que cada um dos logaritmandos seja MAIOR do que zero. Assim, vamos impor que:

x - 2 > 0 ----> x > 2
x - 3 > 0 ---> x > 3
2x - 7 > 0 ---> 2x > 7 ---> x > 7/2 (veja que 7/2 = 3,5).Logo: x > 3,5 .

Agora note isto: entre "x" ser maior do que "2", ser maior do que "3" e ser maior do que "3,5", então vai prevalecer x > 7/2 (ou x > 3,5), pois sendo "x" maior do que "7/2" já será maior do que "2" e maior do que "3".
Assim, a condição de existência que vai prevalecer será:

x > 7/2  <--- Esta é a condição de existência dos logaritmos da expressão aí de cima.

Bem, vamos deixar "guardadinha" a condição de existência aí em cima, e vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₂ (x-2) + log₂ (x-3) = 1 + log₂ (2x-7)

Veja que o "1" que está no 2º membro poderá ser substituído por log₂ (2), pois todo logaritmo cujo número é igual à base sempre é igual a "1".
Assim, ficaremos com:

log₂ (x-2) + log₂ (x-3) = log₂ (2) + log₂ (2x-7).

Agora note: vamos transformar as somas do primeiro membro e do segundo membro em produto, ficando:

log₂ [(x-2)*(x-3)] = log₂ [2*(2x-7)] ----- veja que: como as bases são iguais, então poderemos, sem nenhum problema, igualar os logaritmandos. Então:

(x-2)*(x-3) = 2*(2x-7) ---- efetuando os produtos indicados, teremos:

x² - 5x + 6 = 4x - 14 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:

x² - 5x + 6 - 4x + 14 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
x² - 9x + 20 = 0 -----aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

x' = 4
x'' = 5.

Assim, como ambas as raízes satisfazem à condição de existência (ambas são maiores do que "3,5" ou "7/2",o que é a mesma coisa),então a resposta será:

x = 4 ou x = 5  <--- Esta é a resposta.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma:

S = {4; 5}

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

CE: condição de existência:
x - 2 > 0                    x - 3 > 0                     2x - 7 > 0
x > 0 + 2                   x > 0 + 3                    2x > 0 + 7  
x > 2                         x > 3                          2x > 7
                                                                    x > 7/2
I    -------o→→→→→→→→→→→→→→→→→→
             2
II   -------------------o→→→→→→→→→→→→→→
                            3
III  ----------------------------o→→→→→→→→→→→
                                     7/2
I∩II∩III-----------------------o→→→→→→→→→→→
                                     7/2

$log_2 \ (x - 2)+log_2 \ (x - 3)=1 +log_2\ (2x - 7)\\ log_2 \ (x - 2)+log_2 \ (x - 3)=log_2\ 2 +log_2\ (2x - 7)\\ log_2 \ (x - 2)\cdot (x - 3)=log_2\ 2 \cdot (2x - 7)\\ (x - 2)\cdot (x - 3)= 2 \cdot (2x - 7)\\ x^2-5x+6= 4x - 14\\ x^2-5x+6- 4x + 14=0\\ x^2-9x+20=0$

As possíveis soluções serão 4 e 5, e pela CE, ambas serão resposta.
S = {4, 5}