Question

determine a equação geral do plano que tem n=(3,4,5) como vetor normal e que passa pelo ponto P(2,1,6).

Answer 1

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a equação geral do plano é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 3x + 4y + 5z - 40 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                     $\Large\begin{cases} \vec{n} = (3, 4, 5)\\P(2, 1, 6)\end{cases}$

Se queremos encontrar a equação geral do plano cujo vetor normal é "n" e passa pelo ponto "P" do espaço tridimensional, devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$        $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{P} + Y_{n}\cdot Y_{P} + Z_{n}\cdot Z_{P}\end{gathered}$

Substituindo tanto as coordenadas do ponto "P" quanto as componentes do vetor "n" na equação "I", temos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3\cdot x + 4\cdot y + 5\cdot z = 3\cdot2 + 4\cdot1 + 5\cdot6\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3x + 4y + 5z = 6 + 4 + 30\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3x + 4y + 5z = 40\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3x + 4y + 5z - 40 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano é:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: 3x + 4y + 5z - 40 = 0\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$