Question

Determine a equação geral do plano perpendicular á reta r:
x=2+2t
y=1-3t
z=4t
E que contenha o ponto A = (-1,2,3)

Answer 1

Perceba que a normal do plano é o próprio vetor diretor da reta, pois a reta é perpendicular ao plano. Logo:

β: 2x - 3y + 4z + d = 0

Falta saber o valor de d. Para isso confirmamos que o ponto A=(-1,2,3) pertence ao plano.

β: 2x - 3y + 4z + d = 0

2·(-1) - 3·2 + 4·3 + d = 0

d = - 4

β: 2x - 3y + 4z - 4 = 0 <----- esse é o plano

Bons estudos!

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral do plano perpendicular a reta "r" é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 2x - 3y + 4z - 4 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases} r:\Large\begin{cases} x = 2 + 2t\\y = 1 - 3t\\z = 4t\end{cases}\\A = (-1, 2, 3) \end{cases}$

Para encontrarmos a equação geral de um plano qualquer devemos ter o vetor normal "n" ao plano e um ponto pertencente ao plano - que, neste caso, é o ponto "A" - ou seja, devemos ter os seguintes itens:

               $\Large\begin{cases} \vec{n} = (X_{\vec{n}}, Y_{\vec{n}}, Z_{\vec{n}})\\A(X_{A}, Y_{A}, Z_{A})\end{cases}$

Para montarmos a equação geral do plano "π" a partir do vetor normal e o ponto pertencente ao plano devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$     $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{A} + Y_{n}\cdot Y_{A} + Z_{n}\cdot Z_{A}\end{gathered}$

Então, devemos:

• Recuperar o vetor diretor da reta "r".

       Se as equações paramétricas da reta "r" são:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: \Large\begin{cases} x = 2 + 2t\\y = 1 - 3t\\z = 4t\end{cases}\end{gathered}$

         Então o seu vetor diretor "v" é:

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{v_{r}} = (2, -3, 4)\end{gathered} }$

• Obter o vetor normal do plano "π".

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \textrm{Se}\:\pi\perp r \Longleftrightarrow \vec{n_{\pi}} = \vec{v_{r}}\end{gathered} }$

        Então:

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = (2, -3, 4)\end{gathered} }$

• Montar a equação do plano.

        Para isso devemos substituir tanto as coordenadas do vetor normal "n" do plano quanto as coordenadas do ponto "A" na equação "I", ou seja:

      $\large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot x + (-3)\cdot y + 4\cdot z = 2\cdot(-1) + (-3)\cdot2 + 4\cdot3\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 3y + 4z = -2 - 6 + 12\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 3y + 4z = 4\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 3y + 4z - 4 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\pi: 2x - 3y + 4z - 4 = 0 \end{gathered}$

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Solução gráfica: