Question

Determine a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2,4). Considerado um ponto P(x, y) da reta, temos:
a) x + y -5 = 0 b)2x – 2y + 4 = 0 c) 3x – 4y -2 = 0 d)x – y + 2 = 0 e)x + y – 6 = 0

Answer 1

Portanto, a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é: $\Large \displaystyle \mathsf{ x -y +2 = 0 }$ e que corresponde alternativa correta a letra D.

A reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$ determinada pelos pontos $\boldsymbol{ \textstyle \sf A(x_1, y_1) }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf B(x_2, y_2) }$ pertencentes a ela.

Seja $\boldsymbol{ \textstyle \sf P(x,y) }$ um ponto qualquer dessa reta. Pela condição de alinhamento

de P , A e B, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf x_1 & \sf y_1 & \sf 1 \\ \sf x_2 & \sf y_2 & \sf 1\end{array} = 0 } }$

Toda reta possui uma equação da forma $\boldsymbol{ \textstyle \sf ax +bx +c = 0 }$, em que $\boldsymbol{ \textstyle \sf a }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf b }$ não são ambos nulos, que é chamada de equação geral da reta.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf A(1,3) \\\sf B(2,4) \\\sf ax +by + c = 0 \end{cases} } }$

Calculando o determinante, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf 1 & \sf 3 & \sf 1 \\ \sf 2 & \sf 4 & \sf 1\end{array} = 0 } }$

Aplicando o método de Sarrus, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r | r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 & \sf x & \sf y \\ \sf 1 & \sf3 & \sf 1 & \sf 1 &\sf 3 \\ \sf 2 & \sf 4 & \sf 1 & \sf 2 &\sf 4\end{array} = 0 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (3x +2y +4) - (6+ 4x+y) = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3x +2y +4 - 6- 4x-y =0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3x -4x +2y -y +4 - 6 =0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ -x +y - 2 = 0 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x - y + 2 = 0 }$

Alternativa correta é a letra D.

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