Question

Determine a equação geral da reta r que passa pelos pontos P(1,1) e X(4,6).

Answer 1

Toda reta pode ser representada pela equação do primeiro grau:

y = ax + b

Se temos dois pontos. Nós os usamos para encontrar duas equações e montar um sistema de equações para encontrar os valores de (a)  e (b);

Ponto P(1,1)

y = ax + b        (x = 1 e y = 1)
1 = a.1 + b
1 =  a + b        (vou inverter a equação toda para deixar as letras do  lado
a + b = 1          esquerdo. Quando você inverte a equação toda, não
                         há nenhuma mudança nos sinais).

Ponto X(4,6)    (x = 4 e y = 6)

y = ax + b
6 = a.4 + b
6 = 4a + b
4a + b = 6

Pronto. Agora temos um sistema com duas equações:

a + b = 1
4a + b = 6

Como nós temos b nas duas equações, o jeito mais fácil de resolver é pelo método da soma (e subtração). Vamos fazer a segunda equação menos a primeira (poderia ser o contrário, mas como os valores da 2ª equação são maiores, nós evitamos valores negativos. O resultado final seria o mesmo, mas daria um pouco mais de trabalho)

    4a + b = 6
-    a  + b = 1
    _________
     3a  /  = 5

3a = 5
a = 5/3

OK. Temos o valor de (a), vamos substituir na primeira equação (só porque é a mais simples) para achar o valor de (b).

a + b = 1
5/3 + b = 1
b = 1 - 5/3      (aqui você tem que tirar o mmc, como o único denominador
                       é 3, ele é o mmc)
b = (3 - 5)/3
b = -2/3

Então a equação da reta fica:

y = ax + b
y  5/3x - 2/3   (essa é a equação da reta que passa pelos pontos X e P)

Answer 2

Resposta:

$\text{Leia abaixo}$

Explicação passo-a-passo:

$m = \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \dfrac{6 - 1}{4 - 1} = \dfrac{5}{3}$

$y - y_0 = m( x - x_0)$

$y - 1 = \dfrac{5}{3}(x - 1)$

$3y - 3 = 5x - 5$

$\boxed{\boxed{5x - 3y - 2 = 0}} \leftarrow \text{Equacao geral}$

$\boxed{\boxed{y = \dfrac{5x}{3} - \dfrac{2}{3}}} \leftarrow \text{Equacao reduzida}$