Question

Determine a equação geral da reta que passa pelos seguintes pares de ponto: a) A ( 2,-3) B (7,3) b) A (1,3) B (2,5) c) A (-1, 2) B (3,4) d) A (-1,-2) B (7,5) e) A (-8, -1) B (0, 0). f) A (2,2) B (-3,-3) g) A (-1,-2) B (0,0) h) A (0,0) B (-1,5) i) A (-2,3) B (1,5) j) A (-1,3) B (5, -3)

Answer 1

$\otimes$ Respostas:

a) A ( 2,-3) B (7,3) =>  5y + 27 - 6x = 0

b) A (1,3) B (2,5) => y - 2x - 1 = 0

c) A (-1, 2) B (3,4) => 4y - 2x - 10 = 0

d) A (-1,-2) B (7,5) => 8y + 9 - 7x = 0

e) A (-8, -1) B (0,0) => 8y - x = 0

f) A (2,2) B (-3,-3) => 5x - 5y = 0

g) A (-1,-2) B (0,0) => y - 2x = 0

h) A (0,0) B (-1,5) => -5x - y = 0

i) A (-2,3) B (1,5) => 3y - 2x - 13 = 0

j) A (-1,3) B (5, -3) => 6x + 6y - 13 = 0

$\otimes$ Explicação passo-a-passo:

Para determinarmos a equação geral de uma reta utilizamos os conceitos relacionados a matrizes. Devemos aplicar a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3x3. Para utilizarmos uma matriz nessa determinação da equação geral devemos ter no mínimo dois pares ordenados (x,y), Lembrando que na determinação da equação geral da reta utilizamos: ax + by + c = 0. depois disso iremos criar uma matriz 3x3 colocando da seguinte forma:

$\left|\begin{array}{ccc}n&n&1\\m&m&1\\x&y&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}n&n\\m&m\\x&y\end{array}\right| = 0$

na ilustração, o "n" são as coordenadas do A e o "m" são as coordenadas do B. continuando... Para que possamos calcular o determinante de uma matriz quadrada aplicando a regra de Sarrus,  temos 4 etapas a seguir. São elas:

• 1º etapa: repetir a 1º e a 2º coluna da matriz.
• 2º etapa: somar os produtos dos termos da diagonal principal.
• 3º etapa: somar os produtos dos termos da diagonal secundária
• 4º etapa: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos termos da diagonal secundária.

$\otimes$ Tendo isso em mente, vamos a pergunta:

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Item a)

a) A ( 2,-3) B (7,3)

$\left|\begin{array}{ccc}2&-3&1\\7&3&1\\x&y&1\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}2&-3\\7&3\\x&y\end{array}\right| = 0$

2*3*1 + (-3)*1*x + 1*7*y - ( x*3*1 + y*1*2 + 1*7*(-3) )

6 + (-3x) + 7y - 3x - 2y - (-21)

=> 5y + 27 - 6x = 0

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Item b)

b) A (1,3) B (2,5)

$\left|\begin{array}{ccc}1&3&1\\2&5&1\\x&y&1\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}1&3\\2&5\\x&y\end{array}\right| = 0$

1*5*1 + 3*1*x + 1*2*y - ( x*5*1 + y*1*1 + 1*2*3 )

5 + 3x + 2y - 5x - y - 6

=> y - 2x - 1 = 0

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Item c)

c)  A (-1, 2) B (3,4)

$\left|\begin{array}{ccc}-1&2&1\\3&4&1\\x&y&1\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}-1&2\\3&4\\x&y\end{array}\right| = 0$

(-1)*4*1 + 2*1*x + 1*3*y - ( x*4*1 + y*1*(-1) + 1*3*2 )

-4  + 2x + 3y - 4x - (-y) - 6

=> 4y - 2x - 10 = 0

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Item d)

d)  A (-1,-2) B (7,5)

$\left|\begin{array}{ccc}-1&-2&1\\7&5&1\\x&y&1\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}-1&-2\\7&5\\x&y\end{array}\right| = 0$

(-1)*5*1 + (-2)*1*x + 1*7*y - ( x*5*1 + y*1*(-1) + 1*7*(-2)

-5 + (-2x) + 7y - 5x - (-y) - (-14)

=> 8y + 9 - 7x = 0

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Item e)

e)  A (-8, -1) B (0, 0)

$\left|\begin{array}{ccc}-8&-1&1\\0&0&1\\x&y&1\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}-8&-1\\0&0\\x&y\end{array}\right| = 0$

(-8)*0*1 + (-1)*1*x + 1*0*y - ( x*0*1 + y*1*(-8) + 1*0*(-1)

0 + (-x) + 0 - 0 - (-8y) - 0

=> 8y - x = 0

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Item f)

f)  A (2,2) B (-3,-3)

$\left|\begin{array}{ccc}2&2&1\\-3&-3&1\\x&y&1\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}2&2\\-3&-3\\x&y\end{array}\right| = 0$

2*(-3)*1 + 2*1*x + 1*(-3)*y - ( x*(-3)*1 + y*1*2 + 1*(-3)*2 )

-6 + 2x + (-3y) - (-3x) - 2y - (-6)

=> 5x - 5y = 0

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Item g)

g)  A (-1,-2) B (0,0)

$\left|\begin{array}{ccc}-1&-2&1\\0&0&1\\x&y&1\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}-1&-2\\0&0\\x&y\end{array}\right| = 0$

(-1)*0*1 + (-2)*1*x + 1*0*y - ( x*0*1 + y*1*(-1)  + 1*0*(-2)

0 + (-2x) + 0 - 0 - (-1y) - 0

=> y - 2x  = 0

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Item h)

h) A (0,0) B (-1,5)

$\left|\begin{array}{ccc}0&0&1\\-1&5&1\\x&y&1\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}0&0\\-1&5\\x&y\end{array}\right| = 0$

0*5*1 + 0*1*x + 1*(-1)*y - ( x*5*1 + y*1*0 + 1*(-1)*0 )

0 + 0 + (-y) - 5x - 0 - 0

=> -5x - y = 0

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Item i)

i) A (-2,3) B (1,5)

$\left|\begin{array}{ccc}-2&3&1\\1&5&1\\x&y&1\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}-2&3\\1&5\\x&y\end{array}\right| = 0$

(-2)*5*1 + 3*1*x + 1*1*y - ( x*5*1 + y*1*(-2) + 1*1*3 )

-10 + 3x + y - 5x - (-2y) - 3

=> 3y - 2x - 13 = 0

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Item j)

j) A (-1,3) B (5, -3)

$\left|\begin{array}{ccc}-1&3&1\\5&-3&1\\x&y&1\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}-1&3\\5&-3\\x&y\end{array}\right| = 0$

(-1)*(-3)-1 + 3*1*x + 1*5*y - ( x*(-3)*1 + y*1*(-1) + 1*5*3 )

2 + 3x + 5y - (-3x) - (-y) - 15

=> 6x + 6y - 13 = 0