Question

Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos B (5 , -3) e C (2 , 0)

Answer 1

m= yb-yc/xb-xc = -3-0/5-2 = -3/3 = -1

y - yc = m.(x -xc)

y - 0 = -1.(x -2)

y = -x +2

x + y -2 = 0

Answer 2

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{x + y - 2}~\pink{=}~\blue{0}~~~}}$

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$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

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☺lá, Naruto, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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• Vamos encontrar a equação geral da reta através da equação reduzida da reta. Para um processo mais rápido e direto, confira a resolução alternativa após a resposta.

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☔ Inicialmente temos que a equação reduzida da reta é da forma

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$\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf y = a \cdot x + b}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{a}}$ sendo o coeficiente angular da reta;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{b}}$ sendo o coeficiente linear da reta.

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☔ Sabemos que por um único ponto passam infinitas retas porém por dois pontos passa somente uma reta (na geometria plana Euclidiana). Portanto podemos montar um sistema de duas variáveis e duas equações, uma para cada ponto, da forma

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$\Large\begin{cases}\blue{\sf~P_1~\pink{\Longrightarrow}~-3 = a \cdot (5) + b}\\\\ \blue{\sf~P_2~\pink{\Longrightarrow}~0 = a \cdot 2 + b} \end{cases}$

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☔ De $\sf P_2$ obtemos que

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$\LARGE\blue{\sf b = -2a }$

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☔ De $\sf P_1$ obtemos que

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$\LARGE\blue{\sf b = -5a - 3 }$

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☔ Sendo b = b temos que

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$\LARGE\blue{\sf -2a = -5a - 3 }$

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$\LARGE\blue{\sf -2a + 5a = -3 }$

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$\LARGE\blue{\sf 3a = -3 }$

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$\LARGE\blue{\sf a = \dfrac{-3}{3} }$

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$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~a = -1~~}}}$

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☔ Com o valor de a podemos encontrar b

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$\LARGE\blue{\sf b = -2a }$

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$\LARGE\blue{\sf b = -2 \cdot (-1)}$

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$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~b = 2~~}}}$

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☔ Ou seja, nossa equação reduzida será da forma

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$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~y = -x + 2~~}}}$

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☔ Com uma pequena manipulação algébrica encontramos a equação geral da reta

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{x + y - 2}~\pink{=}~\blue{0}~~~}}$ ✅

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✋ Como o coeficiente angular é a tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas (x), da direita para a esquerda, poderíamos ter inicialmente encontrado o a da nossa reta através da relação

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf a = tg(\alpha) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\put(-3,1){\line(5,3){5}}\put(-3,1){\circle*{0.13}}\put(2,4){\circle*{0.13}}\put(2,1){\circle*{0.13}}\bezier{20}(2,4)(2,2.5)(2,1)\bezier{35}(-3,1)(-0.5,1)(2,1)\put(-3.7,1){\LARGE \sf A }\put(2.5,4){\LARGE \sf B }\put(2.3,2.4){\Large \sf \Delta y }\put(-1,0.4){\Large \sf \Delta x }\bezier(-2,1.55)(-1.7,1.5)(-1.7,1)\put(-2.3,1.1){ \sf \alpha }\end{picture}$

$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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e por esta mesma relação ter encontrado nossa equação da reta (geral ou reduzida), substituindo os valores de a e de $\sf x_1~e~y_1$ de um dos pontos. Experimente fazer desta forma e veja se você acha mais fácil assim :)

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$