Question

Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A=(1,3) e B=(-5,1)

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Seja $r$ a reta que passa pelos pontos $(x_0,~y_0)$ e $(x_1,~y_1)$. Considerando o ponto genérico $(x,~y)\in r$, sua equação pode ser calculada de acordo com a condição de alinhamento de três pontos por meio do determinante:

$\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Então, devemos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos $A=(1,~3)$ e $B=(-5,~1)$. Substituindo suas coordenadas no determinante, teremos:

$\begin{vmatrix}1&3&1\\-5&1&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Para calcular este determinante de ordem $3$, utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\begin{vmatrix}1&3&1\\-5&1&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}1&3\\-5&1\\x&y\\\end{matrix}~=0$

Aplique a Regra de Sarrus

$1\cdot1\cdot1+3\cdot1\cdot x+1\cdot(-5)\cdot y-(3\cdot(-5)\cdot 1+1\cdot1\cdot y+1\cdot 1\cdot x)=0$

Multiplique e some os termos

$1+3x-5y-(-15+y+x)=0\\\\\\ 1+3x-5y+15-y-x=0\\\\\\ 2x-6y+16=0$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $(-6)$ e simplifique as frações

$y-\dfrac{x}{3}-\dfrac{8}{3}=0~~\checkmark$

Esta é a equação geral da reta que passa pelos pontos $A$ e $B$.

Answer 2

Resposta:

$y-\frac{1}{3} x-\frac{8}{3} =0$