Question

determine a equaçao geral da reta que passa pelos centros das circunferencias de vequaçaoes ( x + 2 )² +(y - 1)² = 19 e x² + y² - (x + y + 1) = 0

Answer 1

Olá, tudo bem? Vamos por partes...

$\text{A\,\,circunfer\^encia}\,\,(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=19\,\,\text{tem\,\,centro}\,\,C(-2,\,1)\\\\\text{A\,\,circunfer\^encia}\,\,x^{2}+y^{2}-(x+y+1)=0\rightarrow x^{2}+y^{2}-x-y=1\\\text{tem\,\,centro}\,\,C\left( \dfrac{1}{2};\,\dfrac{1}{2} \right)$
$\text{Utilizando\,\,a\,\,equa\c c\~ao\,\,reduzida\,\,gen\'erica\,\,y=ax+b, podemos utilizar}\\\text{os\,\,pontos\,\,dos\,\,centros\,\,e\,\,montar\,\,um\,\,sistema\,\,de\,\,duas\,\,equa\c c\~oes\,\,que,}\\\text{sendo\,\,resolvido,\,\,nos\,\,dar\'a\,\,a\,\,equa\c c\~ao\,\,da\,\,reta\,\,pedida,\,\,assim:}$
$\text{Para}\,\,C(-2,\,1)\rightarrow 1=a.(-2)+b\rightarrow -2a+b=1(I)\\\text{Para}\,\,C\left(\dfrac{1}{2};\,\dfrac{1}{2}\right)\rightarrow \dfrac{1}{2}=a.\dfrac{1}{2}+b=0\rightarrow a+2b=1(II)\\\\\text{Montando\,\,o\,\,sistema\,\,para\,\,as\,\,duas\,\,equa\c c\~oes}\,\,(I)\,\,\text{e}\,\,(II):$
$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} -2a & + & b & = & 1 &\\ a & + & 2b & = & 1 &(\text{Multipliquei\,\,essa\,\,equa\c c\~ao por 2}) \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} -2a & + & b & = & 1 &\\ 2a & + & 4b & = & 2 &(\text{Somei\,\,as\,\,equa\c c\~oes,\,\,termo\,\,a\,\,termo}) \end{array} \right.$
$5b=3\rightarrow \boxed{b=\dfrac{3}{5}}\\\\\text{Substituindo}\,\,\boxed{b=\dfrac{3}{5}}\,\,\text{na}\,\,2^{a} \,\,\text{equa\c c\~ao},\,\,\text{teremos}:\\a+2.\dfrac{3}{5}=1\rightarrow a+\dfrac{6}{5}=1\rightarrow a=1-\dfrac{6}{5}\rightarrow \boxed{a=-\dfrac{1}{5}}$
$\text{A\,\,equa\c c\~ao\,\,da\,\,reta,\,\,ainda\,\,na\,\,forma\,\,reduzida \'e:}\,\,y=-\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{5}\\\\\text{que,\,\,na\,\,forma\,\,geral\,\,\'e:}\,\,\boxed{x+5y-3=0}$
$\text{OBS:\,\,Se\,\,a\,\,solu\c c\~ao\,\,n\~ao\,\,estiver\,\,vis\'ivel,\,\,por\,\,favor,}\\\text{tente\,\,a\,\,tecla\,\,``F5'',\,\,para\,\,recarregar\,\,esta\,\,p\'agina.}$
$\text{Qualquer\,\,d\'uvida,\,\,por\,\,favor,\,\,estamos\,\,\`a\,\,sua\,\,disposi\c c\~ao.}\\\text{Muito\,\,Agradecido!!!}$

Answer 2

A equação geral da reta que passa pelos centros das circunferências é x + 5y = 3.

A equação reduzida da circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo C = (x₀,y₀) o centro e r a medida do raio.

Na circunferência (x + 2)² + (y - 1)² = 19, podemos afirmar que o centro é igual a C = (-2,1).

Para calcularmos o centro da circunferência x² + y² - (x + y + 1) = 0, precisamos completar quadrado. Sendo assim:

x² + y² - x - y - 1 = 0

x² - x + 1/4 + y² - y + 1/4 = 1 + 1/4 + 1/4

(x - 1/2)² + (y - 1/2)² = 3/2.

Portanto, o centro da circunferência é C' = (1/2,1/2).

A equação reduzida da reta é da forma y = ax + b. Substituindo os pontos C e C' nessa equação, obtemos o sistema linear:

{-2a + b = 1

{a/2 + b = 1/2.

De -2a + b = 1 temos que b = 1 + 2a.

Então:

a/2 + 1 + 2a = 1/2

a + 2 + 4a = 1

5a = -1

a = -1/5.

Consequentemente:

b = 1 + 2(-1/5)

b = 1 - 2/5

b = 3/5.

Portanto, a equação da reta é:

y = -x/5 + 3/5

5y = -x + 3

x + 5y = 3.

Exercício de circunferência: https://brainly.com.br/tarefa/19767193