Question

Determine a equação geral da reta que passa pelo ponto (1,-4) e é perpendicular a reta 3x-4y+6=0

Answer 1

✅ Dizemos que duas retas são perpendiculares se, e somente se, forem coplanares e o produto de seus coeficientes angulares for "-1".

Se nos foi dada a equação geral da reta "r" que é:

        $\large\displaystyle\begin{gathered}r: 3x - 4y + 6 = 0 \end{gathered}$

E, também o ponto "P", tal que:

        $\large\displaystyle\begin{gathered}P(1, -4)\:|\:P \in s\:\perp r \end{gathered}$

Para encontrar a equação geral da reta "s" que passa por "P" sendo perpendicular à reta "r", devemos:

• Calcular a equação reduzida da reta "r";

             $\large\displaystyle\begin{gathered}3x - 4y + 6 = 0 \end{gathered}$

             $\large\displaystyle\begin{gathered}-4y = -3x - 6 \end{gathered}$

                 $\large\displaystyle\begin{gathered}4y = 3x + 6 \end{gathered}$

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{3x + 6}{4} \end{gathered}$

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{3}{4}x + \frac{6}{4} \end{gathered}$

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2} \end{gathered}$

        $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\ r: y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2} \end{gathered}$

• Recuperar o coeficiente angular da reta r -  a partir da equação reduzida;

         Se toda reta reduzida é escrita da forma:

                      $\large\displaystyle\begin{gathered}y = mx + n \end{gathered}$

         Onde:

                  $\large\displaystyle\begin{gathered}m = Coeficiente\:angular\\n = Coeficietne\:linear \end{gathered}$

         Então:

                          $\large\displaystyle\begin{gathered}m_{r} = \frac{3}{4} \end{gathered}$

• Obter o coeficiente angular da reta "s";

       Se:

               $\large\displaystyle\begin{gathered}r\perp s\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:m_{r}\cdot m_{s} = -1 \end{gathered}$

      Então:

                       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}m_{s} = -\frac{1}{m_{r} } \end{gathered} }$

                              $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= -\frac{1}{\frac{3}{4} } \end{gathered} }$

                              $\large\displaystyle\begin{gathered}= -1\cdot\frac{4}{3} \end{gathered}$

                             $\large\displaystyle\begin{gathered}= -\frac{4}{3} \end{gathered}$

                  $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:m_{s} = -\frac{4}{3} \end{gathered}$

• Calcular a equação reduzida da reta "s" que passa pelo ponto "P". Agora, devemos utilizar a fórmula do "ponto declividade" que é:

              $\large\displaystyle\begin{gathered}Y - Y_{P} = m_{s}\cdot(X - X_{P} ) \end{gathered}$

        Então, temos:

              $\large\displaystyle\begin{gathered}y - (-4) = -\frac{4}{3}\cdot(x - 1) \end{gathered}$

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}y + 4 = -\frac{4}{3}x + \frac{4}{3} \end{gathered}$

                            $\large\displaystyle\begin{gathered}y = -\frac{4}{3}x + \frac{4}{3} - 4 \end{gathered}$

                            $\large\displaystyle\begin{gathered}y = -\frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \end{gathered}$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:s: y = -\frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \end{gathered}$

• Obter a equação geral da reta "s" a partir de sua equação reduzida.

                             $\large\displaystyle\begin{gathered}y = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \end{gathered}$

                             $\large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{-4x - 8}{3} \end{gathered}$

                             $\large\displaystyle\begin{gathered}3y = - 4x - 8 \end{gathered}$

            $\large\displaystyle\begin{gathered}4x + 3y + 8 = 0 \end{gathered}$

✅ Portanto, a equação geral da reta "s" é:

           $\large\displaystyle\begin{gathered}s: 4x + 3y + 8 = 0 \end{gathered}$

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Solução gráfica: