Question

Determine a equação geral da reta e tangente em (5,2) a circunferência de equação x²+y²+2x-6y-27=0.
A resposta É: 6x-y-28=0

Answer 1

→ Vou passar a equação geral para a forma reduzida

→ Equação da circunferência :

$(x -x_{0} )^2+(y-y_{0} )^2= R^2$

→ Então :

$x^2+y^2+2x-6y-27 = 0$
$(x+1)^2+(y-3)^= R^2$

→ Cordenadas do centro  C ( -1 , 3 )

→ Agora irei definir o coeficiente da equação da reta que passa passa pelo ponto P (5,2) e pelo C ( -1,3 )

$m = \frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}$
$m = \frac{2-3}{5-(-1)}$
$m = - \frac{1}{6}$

→ Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular a uma reta que passa pelo centro da circunferência no ponto de tangência. Então o produto do coeficiente angular dessas duas retas é igual a -1

$m . m_{t} = -1$

→ Onde $m_{t}$ é o coeficiente angular da reta tangente a circunferência no ponto P (5,2)

$- \frac{1}{6} . m_{t} = -1$
$m_{t} = 6$

→ Pela equação geral da reta vou definir a reta tangente :

$y - y' = m.(x-x'')$
$y - 2 = 6.(x-5)$
$y - 2 = 6x - 30$
$y = 6x - 28$               ou        $6x - y - 28 = 0$
→ Forma reduzida                            → Forma geral