Question

Determine a equação do plano que passa pelos pontos P1(3, 4, 0), P2(4, 2, 0) e forma um ângulo θ = 60◦ om o plano xOy.​

Answer 1

Determine a equação do plano que passa pelos pontos P1(3, 4, 0), P2(4, 2, 0)  

e forma um ângulo θ = 60◦ om o plano xOy.​

z=0  é a equação do plano xOy, vetor normal = (0,0,1) ==>|(0,0,1)|=1

ax+b+c+D=0  é a equação do plano que estamos procurando

vetor normal a este plano=(a,b,c)

|(a,b,c)|=√(a²+b²+c²)

cos (60)= (a,b,c).(0,0,1)/√(a²+b²+c²)*1

### produto escalar ==>(a,b,c).(0,0,1)=a*0+b*0+c*1

(1/2) = (a*0+b*0+c*1)/√(a²+b²+c²)*1

(1/2) = c/√(a²+b²+c²)*1

√(a²+b²+c²) * 1/2=c

√(a²+b²+c²)=2c

a²+b²+c²=4c²

a²+b²=3c² (i)

Da eq.  ax+by+cz+D=0 , usando P1(3, 4, 0), P2(4, 2, 0)  

3a+4b+D=0  (ii)

4a+2b+D=0  (iii)

(iii)-(ii)

a-2b=0 ==> a=2b

Usando (i)

(2b)²+b²=3c²

4b²+b²=3c²

5b²=3c²

b²=3c²/5

b=c√(5/3)  ou b =-c√(5/3)

Para  b=c√(5/3)  ==> a=2c√(5/3)

vetor normal = [2c√(5/3) ; c√(5/3) ;c] ==>c*[2√(5/3) ; √(5/3) ;1]

Eq. geral do plano usando o ponto  P1(3, 4, 0)

2x√(5/3)+ y√(5/3) +z +D=0

6√(5/3)+ 4√(5/3) +0 +D=0  ==>D=-10√(5/3)

2x√(5/3)+ y√(5/3) +z -10√(5/3) =0  é uma equação

Para b= -(5/3)  ==> a=-2c√(5/3)

vetor normal = [-2c√(5/3) ; -c√(5/3) ;c] ==>c*[-2√(5/3) ; -√(5/3) ;1]

Eq. geral do plano usando o ponto  P1(3, 4, 0)

-2x√(5/3)+ -y√(5/3) +z +D=0

-6√(5/3)- 4√(5/3) +0 +D=0  ==>D=10√(5/3)

2x√(5/3)+ y√(5/3) +z + 10√(5/3) =0  é uma equação