Question

Determine a equação do plano que passa pelo ponto P(2, 1, −3)
e é paralelo ao plano de equação x − 5y + 2z − 1 = 0

Answer 1

Resposta:

x − 5y + 2z − 1 = 0   ...vetor normal ao plano (1,-5,2) , todos os planos paralelos a este plano compartilham este vetor normal

Nosso plano então é  x − 5y + 2z + D = 0

usando o ponto P(2, 1, −3)

2-5*1+2*(-3)+D=0  ==>D=9

O Nosso plano ==> x − 5y + 2z +9=0

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação procurada do referido plano é:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi'': x - 5y + 2z = -9\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                 $\Large\begin{cases} P(2, 1, -3)\\\pi': x - 5y + 2z - 1 = 0\end{cases}$

Se estamos procurando a equação de um plano paralelo ao plano π' que passa pelo ponto P, então o vetor normal do plano π' é igual ao vetor normal do plano π''.

Para resolver esta questão, devemos:

• Recuperar o vetor normal do plano π'.

        Sabendo que a equação geral do plano no espaço tridimensional é dada por:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} Ax + By + Cz + D = 0\end{gathered}$  

         Desta forma, o vetor normal "n" do plano é:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = (A, B, C)\end{gathered}$  

         Então, o vetor normal é:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = (1, -5, 2)\end{gathered}$    

• Determinar o vetor normal do plano π''.

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:\pi'\parallel\pi''\Longrightarrow \vec{n} = \vec{m}\end{gathered}$  

        Então:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{m} = (1, -5, 2)\end{gathered}$

• Montar a equação do plano π''. Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$    $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{P} + Y_{n}\cdot Y_{P} + Z_{n}\cdot Z_{P}\end{gathered}$

        Substituindo tanto as coordenadas do ponto P quanto as componentes do vetor "m", na equação "I", temos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\cdot x + (-5)\cdot y + 2\cdot z = 1\cdot2 + (-5)\cdot1 + 2\cdot(-3)\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x - 5y + 2z = 2 - 5 - 6\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x - 5y + 2z = -9\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano é:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi'': x - 5y + 2z = -9\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$