Question

Determine a equação de uma reta que seja tangente à curva da função dada no ponto
(x, f (x)) correspondente ao valor de x especificado.

Detalhe os cálculos.

Answer 1

Oi! Primeiro vamos determinar o valor de y substituindo o valor de x na função, pois sabe que uma função é representada como sendo y = f(x)

$\mathsf{f(x)=x^4-3x^3+2x^2-6} \\ \\ \mathsf{f(2)=2^4 - 3 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 -6} \\ \\ \mathsf{f(2)=-6}$

Então vamos determinar a equação da reta tangente à função em P = (2,-6), de acordo com a propriedade, vamos derivar:

$\mathsf{y=x^n} \\ \\ \mathsf{y'= n \cdot x^{n-1}}$

Daí:

$\mathsf{y=x^4-3x^3+2x^2-6} \\ \\ \mathsf{y'=4x^3 - 9x^2 + 4x}$

A inclinação m em x = 2 será:

$\mathsf{m=4x^3 - 9x^2 + 4x} \\ \\ \mathsf{m=4 \cdot 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2} \\ \\ \mathsf{m=4}$

E finalmente, a equação da reta tangente será:

$\mathsf{y-y_{0}=m \cdot (x-x_{0})} \\ \\ \mathsf{y-(-6)=4 \cdot (x-2)} \\ \\ \mathsf{y+6=4x-8} \\ \\ \mathsf{y=4x-8-6} \\ \\ \mathsf{y=4x-14} \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{-4x+y+14=0} }}$