Question

Determine a equação da reta tangente f(x) = x²-7x+12 no ponto de abscissa x = 1.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Para que haja interseção entre o gráfico da função de 2º grau( a parábola) e a reta(função de 1º grau) no ponto de abcissa 1, é preciso que as duas funções sejam iguais para x=1. Sabendo que a reta representa uma função da forma ax+b, temos:

$x^{2}$-7x+12=ax+b(para x=1)⇒1²-7·1+12=a·1+b⇒1-7+12=a+b⇒a+b=6;

Porém, além dessa condição, como a reta tangencia a parábola, significa que elas têm apenas um ponto de intersecção, ou seja, é preciso que 1 seja a única raiz da equação em que as duas funções são igualadas. Veja:

x²-7x+12=ax+b;Se garantirmos que a+b=6, já sabemos que 1 será raiz dessa equação. Mas para garantir que seja a única, em se tratando de uma equação do 2º grau, é preciso que seu Δ seja igual a 0. Para tal, vamos só ajeitá-la primeiro, isolando o 0:

x²-7x+12=ax+b⇒x²-(a+7)x+12-b=0;Δ=0⇒B²-4AC=[-(a+7)]²-4·1·(12-b)=

a²+14a+49-48+4b=0⇒a²+14a+4b=-1; Assim, garantindo as duas sentenças como verdadeiras, teremos x=1 como raiz única da equação, sendo, portanto, única abcissa onde os gráficos das duas funções se encontram. Temos a resolver o sistema:

a+b=6

a²+14a+4b=-1⇒a²+4(a+b)+10a=-1⇒a²+4·6+10a=-1⇒a²+24+10a=-1⇒a²+10a+25=0⇒(a+5)²=0⇒a=-5. Assim, facilmente vemos (-5)+b=6⇒b=11.

Portanto, a equação da reta, sendo dada por ax+b, é -5x+11.

Uma outra forma um pouco mais avançada de resolver, mas que seria bastante útil, seria derivar a função f(x) para x=1, pois sabemos que a derivada da função em um determinado ponto é o valor da tangente do ângulo que a reta tangente ao gráfico nesse ponto forma com o eixo x. Assim, igualando x a 1, sabemos que f(1)=12 e, derivando-a também em 1, temos f'(x)=2x-7⇒f'(1)=-5. O valor da função no ponto 1(6), dividido por 1 - o zero da função, ou seja, a abcissa onde a reta intersecta o eixo x, é igual à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x, ou seja, a derivada da função no ponto 1, que é -5. Isso nos dá que 1 - o zero da função é -6/5, ou seja , o zero da função é 11/5. Com isso, sabendo que o valor da função no ponto 1 é 6 e no ponto 12/5 é 0, monta-se o seguinte sistema:

a·1+b=6⇒a+b=6 (1)

12a/5+b=0 (2)

Subtraindo (2) de (1), temos que a-11a/5=6⇒-6a/5=6⇒a=-5. Assim, faz-se a mesma coisa e descobre-se o valor de b igual a 11, finalizando a questão.

Fique com qual solução preferir. :)