Question

determine a equação da reta tangente f(x)= 2x+4x², (1,-2)

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf y = 4x {}^{2} + 2x$

A questão nos pede para determinar a reta tangente a f(x) = 2x + 4x², normalmente montaríamos o gráfico dessa função, mas não será necessário, a questão ainda fala que essa reta tangencia no ponto (1,-2), um dado crucial para essa questão.

• Se você bem lembra, uma reta é expressa dessa maneira:

$\ast \: \sf y = mx + n$

De acordo com a definição algébrica de derivada sabemos que ela representa a inclinação da reta, ou seja, o coeficiente angular, portanto se acharmos a derivada da função f(x) e substituir o valor da abscissa do ponto de tangencia, encontraremos "m".

• Derivando a função:

$\sf f(x) = 2x + 4x {}^{2} \\ \sf f'(x) = \underbrace{2x + 4x {}^{2} }_{(a.x {}^{n}) = (n.a.x {}^{n - 1} ) } \\ \sf f'(x) = 1.2x {}^{1 - 1} + 2.4x {}^{2 - 1} \\ \sf f'(x) = 2x {}^{0} + 8x {}^{1} \\ \boxed{ \sf f'(x) = 2 + 8x}$

Substituindo o valor da abscissa (1):

$\sf f'(x) = m \\ \sf m = f'(1) \\ \sf m = 2 + 8x \\ \sf m = 2 + 8.1 \\ \sf m = 2 + 8 \\ \sf m = 10$

Para finalizar vamos substituir o valor de "m" e os valores da coordenada do ponto de tangencia, na equação fundamental da reta.

$\sf y - y_0 = m.( x - x_0) \\ \sf y - ( - 2) = 10.(x - 1) \\ \sf y + 2 = 10x - 10 \\ \sf y = 10x - 10 - 2 \\ \orange{\boxed{\green{\boxed{\red{\boxed{\sf y = 10 x- 12}}}}}}$

Espero ter ajudado