Question

Determine a equação da reta tangente em (p, f (p)) sendo.
a) f(x)= x^2 - x e p=1
b)f(x) raiz de x e p=9

Answer 1

equação de uma reta:
f(x)=ax+b                                

o coeficiente angular (a) da pra achar derivando.
f(x)=x²-x
f'(x)=2x-1                   f'(1)=1.      a=1

a(x-xp)=y-yp
xp é o x do ponto ,1.
pra achar o y do ponto , só fazer f(1)=1²=1
1(x-1)=y-0
y=x-1
                  

b)f(x)=√x                   quando x=9
derivando 
f'(x)=1/(2√x)    
 a=(1/6) 
a(x-xp)=y-yp
(1/6)(x-9)=y-3      
(x/6)+3/2=y

Answer 2

Equação da reta tangente ao gráfico de $f,$ no ponto $\big(p,\,f(p)\big):$

$y-f(p)=f'(p)\cdot (x-p)$

 

a) $f(x)=x^2-x$

Derivando,

$f'(x)=2x-1$


Para $p=1,$ a equação da reta tangente é

$y-f(2)=f'(1)\cdot (x-1)\\\\ y-(1^2-1)=(2\cdot 1-1)\cdot (x-1)\\\\ y-(1-1)=(2-1)\cdot (x-1)\\\\ y-0=1\cdot (x-1)\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y=x-1 \end{array}}$

__________

b) $f(x)=\sqrt{x}$

$f(x)=x^{1/2}$


Derivando,

$f'(x)=\dfrac{1}{2}\,x^{(1/2)-1}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{1}{2}\,x^{-1/2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{1}{2x^{1/2}}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$


Para $p=9,$ a equação da reta tangente é

$y-f(9)=f'(9)\cdot (x-9)\\\\ y-\sqrt{9}=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}\cdot (x-9)\\\\\\ y-3=\dfrac{1}{2\cdot 3}\cdot (x-9)\\\\\\ y-3=\dfrac{1}{6}\cdot (x-9)\\\\\\ y-3=\dfrac{1}{6}\,x-\dfrac{9}{6}\\\\\\ y=\dfrac{1}{6}\,x-\dfrac{3}{2}+3\\\\\\ y=\dfrac{1}{6}\,x-\dfrac{3}{2}+\dfrac{6}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y=\dfrac{1}{6}\,x+\dfrac{3}{2} \end{array}}$


Bons estudos! :-)