Question

Determine a equação da reta tangente e da reta normal a curva y=x3-3x+4 no ponto (2,6).

Answer 1

✅ Após desenvolver os cálculos, concluímos que as equações reduzidas das retas tangente e normal à referida curva pelo respectivo ponto de tangência são respectivamente:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 9x - 12\:\:\:}}\end{gathered} }$

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n : y = -\frac{1}{9}x + \frac{56}{9}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

        $\Large\begin{cases} y = x^{3} - 3x + 4\\T(2, 6)\end{cases}$

Observe que:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$

Para resolver esta questão, devemos calcular a declividade - coefiiciente angular - da reta tangente "t". Para isso, devemos calcular a derivada primeira da função no ponto "T". Então, fazemos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = \frac{\partial}{\partial x}\codt f(x)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x}\codt (x^{3} - 3x + 4)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\cdot2^{3 - 1} - 3\cdot2^{1 - 1} + 0\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\cdot 2^{2} - 3\cdot2 ^{0}\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 12 - 3\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{t} = 9\end{gathered}$

• Montar a equação da reta tangente "t". Para isso, devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade", ou seja:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

        Substituindo os valores das incógnitas na equação "I", temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 6 = 9\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 6 = 9x - 18\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 9x - 18 + 6\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 9x - 12\end{gathered}$

• Calcular a reta normal:

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - y_{T} = -\frac{1}{m_{t}}\cdot(x - x_{T})\end{gathered} }$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 6 = -\frac{1}{9}(x - 2)\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 6 = \frac{-x}{9} + \frac{2}{9}\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{-x}{9} + \frac{2}{9} + 6\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{-x + 2 + 54}{9}\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{-x + 56}{9}\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -\frac{1}{9}x + \frac{56}{9}\end{gathered}$

✅ Portanto, as equações das retas tangente e normal são:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = 9x - 12\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} n : y = -\frac{1}{9}x + \frac{56}{9}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$