Question

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x4 – x3 + 3x, para x = 1

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = x {}^{4} - x {}^{3} + 3x$

A questão nos pede para encontramos a reta tangente a essa curva, para isso devemos primeiro consolidar o ponto, sabemos que a sua abscissa é 1, pois a questão nos informa, para encontrar a ordenada (y), basta substituirmos o valor de "x" na função:

$\sf f(x) = x {}^{4} - x {}^{3} + 3x \: \: \: para \: \: \: x = 1 \\ \sf f(1) = 1 {}^{4} - 1 {}^{3} + 3.1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf f(1) = 1 - 1 + 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf f(1) = 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\sf f(x) \longleftrightarrow y = 3 }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto temos que f(1) é igual a 3, ou seja, já que f(x) é análogo a "y", podemos dizer que y = 3, então o ponto de tangência é: P(1,3).

Agora devemos lembrar que a definição algébrica de derivada é a representação do coeficiente angular de uma reta, ou seja, se formos fazer uma comparação, a derivada é o "m" da equação que representa uma reta ($\sf y = \red{m}x+n)$, partindo dessa ideia, vamos derivar a função e assim encontrar o coeficiente angular:

$\sf f(x) = x {}^{4} - x {}^{3} + 3x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf f'(x) = 4x {}^{4 - 1} - 3x {}^{3 - 1} + 1.3 {x}^{1 - 1} \\ \sf f'(x) = 4x {}^{3} - 3x {}^{2} + 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo o valor da abscissa, que é 1:

$\sf f'(1) = 4.1 {}^{ {}^{3} } - 3.1 {}^{2} + 3 \\ \sf f'(1) = 4 - 3 + 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf f'(1) = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Encontramos que a derivada quando "x" é 1 o seu valor é igual a 4, como eu havia dito acima, a derivada é o "m", então podemos dizer que: $\sf m=4$. Para não ter que substituir o dados na representação y = mx + n, vamos usar a equação fundamental da reta, dada por:

$\sf y - y_0 = m(x - x_0)$

Substituindo os valores nos seus respectivos locais:

$\sf P(1,3) \: \: e \: \: m = 4 \: \: \\ \sf y - 3 = 4.(x - 1) \\ \sf y - 3 = 4x - 4 \: \: \: \: \\ \sf y = 4x - 4 + 3 \: \: \: \: \\ \boxed{ \sf y = 4x - 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado