Question

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(X)= 1/X² no ponto de abscissa 1.

Answer 1

Obs.: Quando resolvi esta questão, o editor de formulas esta com problemas. Caso os cálculos estejam desformatados, considere a figura anexada.

Uma reta pode ser definida por um ponto e seu seu coeficiente angular (direção).

O ponto é dado pelo enunciado, precisamos então determinar seu coeficiente angular. O coeficiente angular pode ser achada pela derivada da função no ponto dado e, sendo assim, temos:

$\frac{df(x)}{dx}~=~\frac{(1)'~.~(x^2)~+~(x^2)'~.~1}{\left(x^2\right)^2}\\\\\\\frac{df(x)}{dx}~=~\frac{1~.~(x^2)~+~(2x)~.~1}{x^4}\\\\\\\boxed{\frac{df(x)}{dx}~=~\frac{x^2+2x}{x^4}}\\\\\\No~ponto~com~x=1,~temos:\\\\\\\frac{df(1)}{dx}~=~\frac{1^2~+~2~.~1}{1^4}}\\\\\\\frac{df(1)}{dx}~=~\frac{1~+~2}{1}}\\\\\\\boxed{\frac{df(1)}{dx}~=~3}$

Temos o coeficiente angular da reta, vamos determinar a coordenada "y" do ponto dado no enunciado:

$\leftarrowf(x)~=~\frac{1}{x^2}\\\\\\f(1)~=~\frac{1}{1^2}\\\\\\\boxed{f(1)~=~1}$

Por fim, basta substituirmos os dados na equação da reta:

$y-y_o~=~m.(x-x_o)\\\\\\y-1~=~3~.~(x-1)\\\\\\y-1~=~3x-3\\\\\\\boxed{y~=~3x-2}$