Question

Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x² em 1/2.

Answer 1

A inclinação de uma reta r , com dois pontos $(x_{0},y_{0}),~(x_{1},y_{1})\in r$, é dada por

$m=\dfrac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}$

Como a inclinação da reta r será a derivada de f em um ponto específico $(x_{0},y_{0})$, temos

$f'(x_{0})=\dfrac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}$

Considerando um ponto $(x,y)\in r~tal~que~(x,y)\neq(x_{0},y_{0})$ e o ponto fixado, temos

$f'(x_{0})=\dfrac{y-y_{0}}{x-x_{0}}~~\therefore~~\boxed{\boxed{y=y_{0}+f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})}}$

A expressão acima é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto $(x_{0},y_{0})$.
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$\bullet$ Achando o ponto de tangência

$x_{0}=\frac{1}{2}~\rightarrow~y_{0}=f(x_{0})=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}\\\\\therefore~\boxed{\boxed{(x_{0},y_{0})=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)}}$

$\bullet$ Achando a derivada da função

$f(x)=x^{2}\\\\f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})\\\\f'(x)=2x^{2-1}\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=2x}}$

$\bullet$ Achando a inclinação da reta tangente ao gráfico de $f$ em $x=\frac{1}{2}$

$f'(\frac{1}{2})=2(\frac{1}{2}~~\therefore~~\boxed{\boxed{f'\bigg(\frac{1}{2}\bigg)=1}}$

$\bullet$ Achando a equação da reta tangente

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})\\\\y=\frac{1}{4}+1(x-\frac{1}{2})\\\\y=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\\\\y=x-\frac{2}{4}+\frac{1}{4}\\\\\\\boxed{\boxed{y=x-\frac{1}{4}}}$