Question

Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
f(x) = x³ - 3x² + 3x -1 no ponto de abscissa p = 2.

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função polinomial do terceiro grau - função cúbica - pelo referido ponto é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 3x - 5\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

        $\Large\begin{cases} f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x -1\\x = 2\end{cases}$

Para resolver esta questão devemos:

• Obter as coordenadas do ponto de tangência:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} T = (X_{T},\,Y_{T})\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (x, \,f(x))\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2,\,2^{3} - 3\cdot2^{2} + 3\cdot2 - 1)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2,\,8 - 12 + 6 - 1)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2,\,1)\end{gathered}$  

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:T = (2, \,1)\end{gathered}$

• Calcular a declividade - coeficiente angular - da reta tangente "t". Para isso, devemos calcular a derivada primeira da função no ponto "T". Então, fazemos:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{r} = \frac{\partial}{\partial x}f(x)\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1)\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\cdot3\cdot2^{3 - 1} - 3\cdot2\cdot2^{2 - 1} + 3\cdot1\cdot2^{1 - 1} - 0\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 12 - 12 + 3\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{r} = 3\end{gathered}$

• Montar a equação da reta tangente "t". Para isso, devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade", ou seja:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{r}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

        Substituindo os valores na equação "I", temos:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = 3\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = 3x - 6\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 3x - 6 + 1\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 3x - 5\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente é:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = 3x - 5\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

       

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$