Question

determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=6x-x^2 no ponto (1,5)

a) y=x-1
b) y= 4x+1
c) y= 4x-1
d) y= x+2

Answer 1

$\text{f(x)}=6\text x-\text x^2$

Equação da reta tangente a f(x) :

$\text y = \text m.\text x+\text n$

onde :

$\text m = \text{f '(x)}$

Derivando a f(x) :

$\text {f '(x)}= \text m = 6-2\text x$

substituindo o ponto x = 1 :

$\text m = 6-2.1^2 \to \text m = 4$

Reta tangente à f(x) no ponto (1,5) :

$\text y-\text y_o = \text m (\text x-\text x_o) \\\\\ \text y - 5 = 4(\text x-1) \\\\\ \text y =4\text x-4+5 \\\\ \huge\boxed{\text y = 4\text x +1}\checkmark$

Letra b

Podemos de outra forma sem usar derivada.

$\text{f (x)} = 6\text x-\text x^2$

Equação da reta tangente à f(x) no ponto (1,5) :

$\text y -5 = \text m(\text x-1) \\\ \text y = \text{m.x} - \text m + 5$

Vamos substituir esse valor no lugar da f(x) e resolver para x. Lembrando que se é tangente então só temos um ponto de interseção, ou seja, Delta = 0 :

$\text{f (x)} = 6\text x-\text x^2 \\\\\ \text{m.x}-\text m+5 = 6\text x-\text x^2 \\\\ \text x^2+\text x(\text m - 6) +5-\text m =0 \\\\ \Delta = (\text m-6)^2-4(5-\text m) \\\\ \text m^2-12\text m+36 +4\text m -20 = 0 \\\\ \text m^2-8\text m + 16 = 0 \\\\ (\text m-4)^2=0 \\\\ \underline{\text m = 4}$

Substituindo na equação da reta tangente :

$\text y = \text{m.x} - \text m + 5 \\\\ \text y = 4\text x- 4+5 \\\\ \huge\boxed{\text y = 4\text x+1}\checkmark$