Question

Determine a equação da reta tangente à parábola de equação x² = 2y no ponto (4,8).

Answer 1

A equação da reta tangente no ponto (4,8) será do tipo :

$\sf y-y_o=m(x-x_o)$

$\sf y-8=m(x-4)$

Sendo "m" a derivada da parábola naquele ponto, isto é :

$\displaystyle \sf 2y = x^2 \\\\\ y =\frac{x^2 }{2} \\\\ y' = x = m \ , \ x= 4 \to m = 4 \\\\ y-8= 4(x-4) \\\\ y-8 =4x-16 \\\\ \text{portanto a equ{\c c}{\~a}o da reta tangente {\`a} par{\'a}bola no ponto (4,8) {\'e}}: \\\\ \huge\boxed{\sf \ 4x-y-8=0\ }\checkmark$

Também podemos fazer da seguinte forma :

equação da reta tangente no ponto (4,8)

$\sf y-8=m(x-4) \\\\ y = mx-4m+8$

Agora vamos substituir na equação da parábola :

$\displaystyle \sf x^2 = 2y\\\\ x^2 = 2(mx-4m+8) \\\\ x^2 = 2mx-8m+16 \\\\ x^2-2mx+8m-16 = 0$

Se a reta é tangente, logo só há um ponto de encontro. Então o Delta da equação deve ser 0, ou seja :
$\sf x^2-2mx+8m-16 = 0\\\\ \Delta = 0 \\\\ (-2m)^2-4\cdot (8m-16) = 0 \\\\ 4m^2 -4(8m-16)=0 \\\\ m^2-8m+16 = 0 \\\\ (m-4)^2 = 0 \\\\ m - 4 = 0 \\\\ m = 4 \\\\ Da{\'i}}: \\\\ y-8 = 4(x-4) \\\\ \huge\boxed{\sf 4x-y-8 =0 }\checkmark$