Question

determine a equação da reta tangente à função f (x) no ponto indicado $f(x) = \sqrt{x} \\x=9$

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

A equação da reta tangente a uma curva dada por uma função $f(x)$, contínua e derivável em um ponto $x=p$ é calculada pela fórmula: $y=f(p)+f'(p)\cdot(x-p)$.

Então, devemos calcular a derivada da função:

$(f(x))'=(\sqrt{x})'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• O radical pode ser reescrito como uma potência de expoente fracionário: $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$, de modo que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.

Aplique a regra da potência

$f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}$

Some os valores no expoente

$f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$

Transformamos a potência de base negativa em uma fração utilizando a propriedade: $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n},~a\neq0$.

$f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Reescreva a potência de expoente fracionário como um radical e multiplique os termos

$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Então, calculamos a equação da reta tangente à curva no ponto $x=9$:

$y=f(9)+f'(9)\cdot(x-9)$

Calculando os valores das funções neste ponto, temos:

$y=\sqrt{9}+\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{9}}\cdot(x-9)$

Calcule o radical, sabendo que $9=3^2$ e multiplique os termos

$y=3+\dfrac{1}{6}\cdot(x-9)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$y=3+\dfrac{x}{6}-\dfrac{3}{2}\\\\\\ \Large{\boxed{y=\dfrac{x}{6}+\dfrac{3}{2}~~\checkmark}$

Esta é a equação da reta tangente à curva neste ponto.