Question

Determine a equação da reta tangente a função f(x)=2x²+3 no ponto (4,35)

Answer 1

Equação da reta tangente a função f(x)=2x²+3 no ponto (4,35).

A equação da reta tangente é do tipo :

$\text y = \text m.\text x + \text n$

onde :

$\displaystyle \text m = \frac{\text d}{\text {dx}}[\text{f(x)} ]$

Derivando a f(x) :

$\text m = \text {f '(x)} = 2.2\text x^{2-1}+0 \\\\ \text m = \text{f '(x)} = 4\text x \\\\ \text{em x = 4}: \\\\ \text m = \text{f '(4)}}=4.4 = 16 \\\\ \text m = 16$

Portanto :

$\text y = 16\text x+ \text n\\\\ \text{substituindo o ponto (4,35)}: \\\\ \text 35 = 16.4 + \text n \\\\ \text n = 35-64 \\\\ \text n =-29$

Logo a equação da reta tangente à f(x) no ponto (4,35) é :

$\text y = 16\text x -29 \\\\ \huge\boxed{16\text x-\text y -29=0\ } \checkmark$

Obs : Dá pra fazer sem usar derivada.

Fazendo o seguinte :

f(x) = 2x² +3

A equação da reta tangente no ponto (4,35) será do tipo :

$\text y - 35 = \text m(\text x-4) \\\\ \text y = \text m.\text x-4\text m+35$

Aí substitui esse valor na f(x) e resolve para x, sendo uma reta tangente o Delta da equação será igual a 0, isto é :

$\text {m.x}-4\text m+35 = 2\text x^2+3 \\\\ 2\text x^2-\text m\text x+4\text m-35+3=0 \\\\ 2\text x^2-\text{m.x}+4\text m - 32 = 0 \\\\ \Delta = 0 \\ \therefore \\ (-\text m)^2-4.2.(4\text m-32)=0 \\\\ \text m^2-32\text m + 256=0 \\\\ (\text m-16)^2=0 \\\\ \boxed{\text m = 16}$

Voltando para equação da reta tangente :

$\text y = \text m\text x-4\text m+35 \\\\ \text y = 16\text x-4.16+35 \\\\ \text y = 16\text x-64+35 \\\\ \huge\boxed{ 16\text x-\text y -29 = 0 }\checkmark$