Question

Determine a equação da reta tangente à curva y=x³ no ponto de abscissa x=-1

Answer 1

Resposta:

y = 3x + 2

Explicação passo a passo:

Curva y = x³  que posso escrever como  f (x ) = x³

Reta tangente no ponto de abcissa  x = - 1

1º Cálculo do ponto de tangência

f ( - 1 ) = ( - 1 )³ = - 1

ponto de tangência ( - 1 ; 1 )

2º Calcular o declive da reta

Corresponde ao valor da 1ª derivada de y = x³ , no ponto de tangência

$(x^3)' = 3*x^{3-1} *x'=3x^{2}*1=3x^{2}$

Para x = - 1

$3*(-1)^2=3*1=3$

O declive da reta é 3.

Observação 1 → Declive de uma reta também é denominado de inclinação

da reta, ou coeficiente angular da reta

3º Cálculo da equação da reta tangente

As retas de funções afins são do tipo:

y = mx + b

onde m = declive

b = coeficiente linear

Observação 2 → Deve estar mais familiarizado com a expressão destas retas ser y = ax + b.

No entanto a = coeficiente angular tem o mesmo valor que o declive da

reta.

E declive escreve-se letra " m "

Já sei que a reta vai ser

y = 3x + b

Para calcular o "b" vou utilizar as coordenadas do ponto de tangência

- 1 = 3 * ( - 1 ) + b

- 1 = - 3 + b

- 1 + 3 = b

2 = b

b = 2

A reta será então :

y = 3x + 2

( ver gráfico em anexo onde PT significa " ponto de tangência )

Bons estudos.

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( ' )  primeira derivada         ( * ) multiplicação

Answer 2

✅ Após ter realizado todos os cálculos, concluímos que a reta tangente a curva, cujo valor "1" é a abscissa do ponto de tangência, é:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 3x + 2\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

             $\Large\begin{cases}y = x^{3}\\x = -1 \end{cases}$

                 

Se:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = f(x) \end{gathered}$

Então podemos reescrever a função como:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = x^{3} \end{gathered}$

Para encontrar a reta "t" tangente à curva pelo ponto de tangência T(x, y) teremos de utilizar a equação da reta em sua forma ponto declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$     $\Large\displaystyle\begin{gathered}Y - Y_{T} = m_{t}\cdot(X - X_{T}) \end{gathered}$

Para utilizarmos esta fórmula devemos conhecer o ponto de tangência "T", bem como o coeficiente angular "mt" da reta. Para isso, devemos:

• Encontrar o ponto de tangência das curvas:

         O ponto de tangência pode ser deduzido utilizando-se da seguinte   estratégia:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}T = (x, y) \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}= [x, f(x)] \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = [-1, (-1)^{3}]\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (-1, -1) \end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:T(-1, -1) \end{gathered}$

• Encontrar o coeficiente angular da reta:

         Sabendo que o coeficiente angular da reta "t" é a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas no seu sentido positivo, o que também pode ser considerado como, a derivada primeira da função pelo ponto "T", então:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}m_{t} = f'(-1)^{3} \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 3\cdot(-1)^{3 - 1} \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 3\cdot(-1)^{2} \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 3\cdot 1 \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 3 \end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:m_{t} = 3 \end{gathered}$

• Montar a equação da reta tangente:

        Substituindo as coordenadas do ponto de tangência e o coeficiente angular na equação "I", temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}y - (-1) = 3[x - (-1)] \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}y + 1 = 3[x + 1] \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}y + 1 = 3x + 3 \end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = 3x + 3 - 1 \end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = 3x + 2 \end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente procurada é:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}t: y = 3x + 2 \end{gathered}$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/40839663
2. https://brainly.com.br/tarefa/51075132

Solução gráfica: