Question

Determine a equação da reta tangente à curva y =㏑(x² + 1) no ponto x = 1.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf y = ln(x {}^{2} + 1 )$

Primeiro vamos consolidar o ponto em que a reta tangente toca a curva, a questão nos fornece o valor de sua abscissa x, mas não a ordenada, então vamos descobrir justamente a ordenada, para isso basta substituir o valor de "x" na função:

$\sf y = ln(x {}^{2} + 1 ) \: \: \: \: \: para \: x = 1 \\ \sf y = ln(1 {}^{2} + 1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf y = ln(2) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

O valor de logaritmo natural de 2 é um número bem desordenado, então vamos manter ln(2), então o ponto é: $\sf P[1,ln(2)]$.

• Agora devemos encontrar o coeficiente angular dessa reta, nesse momento devemos lembrar que a definição algébrica de derivada é a representação do coeficiente angular, ou seja, o coeficiente dessa reta será dada pela derivada da função ln(x² + 1):

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [ ln(x {}^{2} + 1) ]$

Não será necessário usar a regra do produto, mas sim a regra da cadeia, dada pela seguinte relação $\sf \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}. \frac{du}{dx}$, antes de aplicar, vamos lembrar que a derivada da função logaritmo natural é dada por:

$\sf \frac{d}{dx} [ ln(x) ] = \frac{1}{x}$

Agora podemos aplicar:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} [ ln(x {}^{2} + 1) ] . \frac{d}{dx} (x {}^{2} + 1) \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x {}^{2} + 1} .2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x {}^{2} + 1 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Se a derivada é o coeficiente angular, podemos dizer então que ela representa o valor de "m" de uma reta, então:

$\sf m = \frac{2x}{x {}^{2} + 1}$

Substituindo o valor da abscissa que é 1, temos que o valor de "m" é:

$\sf m = \frac{2.1}{1 {}^{2} + 1 } \\ \\ \sf m = \frac{2}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \sf m = 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

A representação de uma reta é dada por:

$\sf y - y_0 = m.(x - x_0)$

Substituindo os valores nos seus devidos locais:

$\sf y - ln(2) = 1.(x - 1) \\ \sf y - ln(2) = x - 1 \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{\sf y = x - 1 + ln(2)} \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado