Question

Determine a equação da reta tangente à curva y=lnx, que seja paralela à reta y=12x+1.

Answer 1

Temos a curva :

$\text y = \text{ln(x)}$

Temos a reta :

$\text y = 12\text x+1$

Queremos a reta tangente à curva e paralela à reta.

Reta paralela :

$\text y-\text y_o=\text m.(\text x-\text x_o)$

Sabemos que retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular, portanto :

$\text m = 12$

Sabemos também que o coeficiente angular da reta tangente a curva pode ser encontrada pela derivada da curva.

Derivando a curva :

$\text y =\text{ln(x)}$

$\displaystyle \text {y '} \to \text m = \frac{1}{\text x}$

substituindo m = 12 :

$\displaystyle 12 = \frac{1}{\text x}\to \boxed{\text x =\frac{1}{12}}$

Substituindo esse valor de x na curva para achar o y :

$\text y =\text{ln(x)}$

$\displaystyle \text y = \text{ln}(\frac{1}{12})$

$\displaystyle \text y = \text{ln}(12^{-1})$

$\boxed{\displaystyle \text y = -\text{ln}(12) }$

Então a equação da reta tangente à curva e paralela à reta será :

$\text y-\text y_o=\text m.(\text x-\text x_o)$

$\displaystyle \text y -(-\text{ln(12)}) = 12.(\text x -\frac{1}{12})$

$\displaystyle \text y +\text{ln(12)} = 12.\text x -\frac{12}{12}$

$\displaystyle \text y +\text{ln(12)} = 12.\text x -1$

Portanto a reta tangente à curva e paralela à reta é :

$\huge\boxed{\displaystyle 12.\text x -\text y -1 -\text{ln(12)} = 0 }\checkmark$