Question

Determine a equação da reta tangente á curva $sen(xy)=x$ em $(1,\frac{\pi }{2} )$

Answer 1

Determinar a equação da reta tangente à curva

    $\mathsf{sen(xy)=x}$

no ponto $\mathsf{(1,\,\frac{\pi}{2}).}$

O coeficiente angular da reta tangente é o valor da derivada no ponto dado.

Derive implicitamente os dois lados da equação com relação a x, assumindo y como função de x:

    $\mathsf{\dfrac{d}{dx}\big[sen(xy)\big]=\dfrac{d}{dx}(x)}\\\\\\ \mathsf{cos(xy)\cdot \dfrac{d}{dx}(xy)=1}\\\\\\ \mathsf{cos(xy)\cdot \Big[\dfrac{d}{dx}(x)\cdot y+x\cdot \dfrac{d}{dx}(y)\Big]=1}\\\\\\ \mathsf{cos(xy)\cdot \Big[1\cdot y+x\cdot \dfrac{dy}{dx}\Big]=1}\\\\\\ \mathsf{cos(xy)\cdot \Big[y+x\cdot \dfrac{dy}{dx}\Big]=1}\\\\\\ \mathsf{y\,cos(xy)+x\,cos(xy)\cdot \dfrac{dy}{dx}=1}\\\\\\ \mathsf{x\,cos(xy)\cdot \dfrac{dy}{dx}=1-y\,cos(xy)}$

e nos pontos onde x cos(xy) ≠ 0,

    $\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1-y\,cos(xy)}{x\,cos(xy)}\qquad\checkmark}$

Observe que no ponto dado, a derivada $\mathsf{\dfrac{dy}{dx}}$  não pode ser calculada, pois

    $\mathsf{x\,cos(xy)=0}$

para $\mathsf{x=1~~e~~y=\dfrac{\pi}{2}.}$

Sendo assim, a reta tangente não possui coeficiente angular. Isso significa que a reta procurada é uma reta vertical, cuja equação é da forma

    $\mathsf{x=k}$

sendo k uma constante.

Como a reta tangente passa pelo ponto $\mathsf{(1,\,\frac{\pi}{2}),}$  o valor da constante é a própria abscissa do ponto. A equação da reta tangente procurada é

    $\mathsf{x=1\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

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