Question

Determine a equação da reta tangente à curva f(x)= x³ - 2x no ponto x= -1

Answer 1

✅ Após desenvolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à referida curva pelo respectivo ponto de tangência é:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = x + 2\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases} y = x^{3} + 2x\\x = -1\end{cases}$

Observe que:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Determinar as coordenadas do ponto de tangência "T" entre as curvas. Para isso, fazemos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} T = (X_{T},\,Y_{T})\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left[x,\,f(x)\right]\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left[-1,\,(-1)^{3} - 2\cdot(-1)\right]\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left[-1,\,-1 + 2\right]\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left[-1,\,1\right]\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:T(-1, 1)\end{gathered}$

• Calcular a declividade - coefiiciente angular - da reta tangente "t". Para isso, devemos calcular a derivada primeira da função no ponto "T". Então, fazemos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = \frac{\partial}{\partial x}\codt f(x)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x}\codt (x^{3} - 2x)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\cdot(-1)^{3 - 1} - 2\cdot1\cdot(-1)^{1 - 1}\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\cdot(-1)^{2} - 2\cdot(-1)^{0}\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3 - 2\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{t} = 1\end{gathered}$

• Montar a equação da reta tangente "t". Para isso, devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade", ou seja:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

        Substituindo os valores das incógnitas na equação "I", temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = 1\cdot(x - (-1))\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = x + 1\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = x + 1 + 1\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = x + 2\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = x + 2\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$