Matemática, perguntado por williandonisete22, 6 meses atrás

Determine a equação da reta tangente à curva
f (x) = x² − x + 6 em x = -1.

Soluções para a tarefa

Respondido por ZacariasJM
1

Resposta:

Olá

Explicação passo-a-passo:

vamos

f(x) =  {x}^{2}  - x + 6

seja

x =  - 1

f( - 1) = ( -1 ) {}^{2}   + 1 + 6 \\  = 1 + 7 \\  = 8

espero ter ajudado

Respondido por solkarped
5

✅ Após desenvolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à referida curva pelo respectivo ponto de tangência é:

    \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = -3x + 5\:\:\:}}\end{gathered}$}

Sejam os dados:

            \Large\begin{cases} y = x^{2} - x + 6\\x = -1\end{cases}

Observe que:

                 \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$}

Para resolver esta questão, devemos:

  • Determinar as coordenadas do ponto de tangência "T" entre as curvas. Para isso, fazemos:

             \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} T = (X_{T},\,Y_{T})\end{gathered}$}

                  \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \left[x,\,f(x)\right]\end{gathered}$}

                  \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \left[-1,\,(-1)^{2} -(-1) + 6\right]\end{gathered}$}

                  \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \left[-1,\,1 + 1 + 6\right]\end{gathered}$}

                  \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \left[-1,\,8\right]\end{gathered}$}

           \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:T(-1, 8)\end{gathered}$}

  • Calcular a declividade - coefiiciente angular - da reta tangente "t". Para isso, devemos calcular a derivada primeira da função no ponto "T". Então, fazemos:

                 \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = \frac{\partial}{\partial x}\codt f(x)\end{gathered}$}

                         \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x}\codt (x^{2} - x + 6)\end{gathered}$}

                         \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 2\cdot(-1)^{2 - 1} - 1\cdot1\cdot(-1)^{1 - 1} + 0\end{gathered}$}

                         \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 3\cdot(-1)^{2} - 2\cdot(-1)^{0}\end{gathered}$}

                         \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = -2 - 1\end{gathered}$}

                         \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = -3\end{gathered}$}

              \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{t} = -3\end{gathered}$}

  • Montar a equação da reta tangente "t". Para isso, devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade", ou seja:

        \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}        \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}

        Substituindo os valores das incógnitas na equação "I", temos:

                       \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 8 = -3\cdot(x - (-1))\end{gathered}$}

                       \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 8 = -3x - 3\end{gathered}$}

                                \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = -3x - 3 + 8\end{gathered}$}

                                \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = -3x + 5\end{gathered}$}

✅ Portanto, a equação da reta tangente é:

              \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t: y = -3x + 5\end{gathered}$}

\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}

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\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe  \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}

Anexos:
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