Question

determine a equação da reta tangente a curva f(x) = 1/3x+1 passando pelo ponto de abscissa x=3

Answer 1

$f(x)= \frac{1}{3x+1}$

x0=3 
1)
calculando o y0 , é só substituir o valor de x0 na função

$y_0 = f(x_0)\\y_0 = \frac{1}{3*3+1}\\\\y_0= \frac{1}{10}$

a reta passa por estes dois pontos x0=3 , y0=1/10

2)
encontrando o coeficiente angular (m)
é só vc derivar a função e calcular ela no ponto x0
$m=f'(x_0)$

derivando
$f(x)= \frac{1}{3x+1} \\f(x)=(3x+1)^{-1}\\\\f'(x)=-1*(3x+1)^{-1-1} * (3*1+0)\\\\f'(x)= \frac{-3}{(3x+1)^2} \\\\m=f'(x_0)= \frac{-3}{(3*3+1)^2} \\\\m= \frac{-3}{100}$


a equação da reta é 
$y=m*(x-x_0)+y_0\\\\y= \frac{-3}{100}(x-3)+ \frac{1}{10} \\\\y= \frac{-3x+9}{100} + \frac{1}{10} \\\\\boxed{\boxed{y= \frac{-3x+19}{100} }}$