Question

Determine a equação da reta tangente à curva 2x – x^3 , no ponto (-2,4)

Answer 1

Resposta:

f(x) =2x – x^3

f'(x)=2-3x²  ...para x=-2 ==>2-3*4=-10  que é o coef. angular da reta tangente

-10 =(y-4)/(x+2)

-10x-20 =y-4

10x+y+16=0 é a resta tangente pedida

Answer 2

✅ Após desenvolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à referida curva pelo respectivo ponto de tangência é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = -10x - 16\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases} y = 2x - x^{3}\\T (-2, 4)\end{cases}$

Organizando os dados temos:

           $\Large\begin{cases} f(x) = -x^{3} + 2x\\T(-2, 4)\end{cases}$

Para resolver esta questão, devemos calcular a declividade - coefiiciente angular - da reta tangente "t". Para isso, devemos calcular a derivada primeira da função no ponto "T". Então, fazemos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = \frac{\partial}{\partial x}\codt f(x)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x}\codt (-x^{3} + 2x)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -1\cdot3\cdot(-2)^{3 - 1} + 2\cdot1\cdot(-2)^{1 - 1}\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -3\cdot(-2)^2 + 2\cdot(-2)^{0}\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -12 + 2\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -10\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{t} = -10\end{gathered}$

• Montar a equação da reta tangente "t". Para isso, devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade", ou seja:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

        Substituindo os valores das incógnitas na equação "I", temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = -10\cdot(x - (-2))\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = -10x - 20\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -10x - 20 + 4\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -10x - 16\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = -10x - 16\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$