Question

Determine a equação da reta r representada na figura A(3,9) B(15,3)

A)utilizando a equação y-y1=m(x-x1)

b)utilizando a condição de alinhamento de três pontos

Answer 1

Com os cálculos finalizados podemos afirmar que  a equação geral da reta r que passa pelo pontos A e B  é: $\large \displaystyle \mathsf{ x +2y - 21 = 0 }$.

Declividade ou coeficiente angular de uma reta:

( Vide a figura em anexo ).

Considerando uma reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$ que não paralela ao eixo $\boldsymbol{ \textstyle \sf Oy }$ e sua inclinação $\boldsymbol{ \textstyle \sf \theta }$.

A declividade ou coeficiente angular dessa reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$ é o número real $\boldsymbol{ \textstyle \sf m }$tangente trigonométrica de sua inclinação $\boldsymbol{ \textstyle \sf \theta }$.

Para $\boldsymbol{ \textstyle \sf 90^\circ < \theta < 180^\circ }$, temos:

No triângulo retângulo ABC, $\boldsymbol{ \textstyle \sf \hat{C} }$ é reto, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \tan( 180^\circ - \theta )= \dfrac{d(C-B) }{d(C -A)} = \dfrac{y_2 -y_1}{x_1 -x_2} } }$

como $\boldsymbol{ \displaystyle \sf \tan\:(180^\circ - \theta ) = -tan\:{\theta} }$ vem:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{-\: \tan {\theta} = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1-x_2} \Rightarrow \tan{\theta} = \dfrac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ y_2 - y_1 = m\cdot (x_2 - x_1) }$

Fazendo $\textstyle \sf \sf y_2 = y ~~e ~ ~x_2 = x$, temos:

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf y - y_0 = m \cdot ( x - x_0) }}$

Condição de Alinhamento de Três Pontos:

Eles estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta e o determinante é igual a zero.

A equação geral pode ser determina por:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf x_A & \sf y_A & \sf 1 \\ \sf x_B & \sf y_B & \sf 1\end{array} = 0 } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf A\: ( \:3, 9\:) \\ \sf B\: (\: 15,3\:) \\ \sf r: y-y_1 = m \cdot (x- x_1) \end{cases} } }$

a)

Primeiramente devemos encontrar a inclinação da reta.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \tan {\theta} = m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B -x_A} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ m = \dfrac{3 - 9}{15 - 3} = \dfrac{-\:6}{12} = -\: \dfrac{1}{2} } }$

Para determinar a equação da reta, bastar pegar qualquer ponto da reta r.

$\large \displaystyle \mathsf{ y - y_0 = m \cdot ( x - x_0) }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y - 9 = -\:\dfrac{1}{2} \cdot ( x -3) } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 2 \cdot (y - 9) = -\; 1 ( x -3) }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 2y -18 = -\;x + 3 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ x +2y - 3 -18 =0 }$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf x +2y - 21 = 0 }} }$

b) Utilizando o determinante pelo método de Sarrus, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf x_A & \sf y_A & \sf 1 \\ \sf x_B & \sf y_B & \sf 1\end{array} = 0 } }$

Resolvendo o determinante, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf 3 & \sf 9 & \sf 1 \\ \sf 15 & \sf 3 & \sf 1\end{array} = 0 } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 6x +12y -126 = 0 \quad \gets (\div6), temos. }$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf x +2y - 21 = 0 }} }$

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