Question

Determine a equação da reta que passa pelos pontos A (7, -3) e B ( 4, -1):
a)2x+3y-5=0
b)x-y+1=0
c)5x-3y+2=0
d)4x-2y-1=0

Answer 1

Queremos determinar a equação da reta que passa pelos pontos A (7, -3) e B ( 4, -1). Vamos resolver esta questão de dois modos.

1º modo

De início, vamos determinar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos dados:

$\Large\begin{aligned}\tt m&=\tt \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\\&=\tt \dfrac{-1-(-3)}{4-7}\\\\&=\tt \dfrac{-1+3}{-3}\\\\&=\tt-\dfrac{2}{3}.\end{aligned}$

Agora usando o valor de m e um dos pontos dados e substituindo na fórmula a seguir:

$\Large\begin{gathered}\tt y-y_0=m(x-x_0)\\\\\tt y-(-1)=-\dfrac{2}{3}(x-4)\\\\\tt y+1=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}\\\\\tt 3y+3=-2x+8\\\\\tt 2x+3y+3-8=0\\\\\boxed{\tt 2x+3y-5=0}\end{gathered}$

Obs.: note que foi usado o ponto B, porém o ponto A também poderia ser utilizado.

2º modo

Vamos considerar um ponto (x, y) pertencente à reta cuja equação queremos determinar. Esse ponto com os pontos A e B precisam estar alinhados, já que pertencem à mesma reta. Dessa maneira, o determinante a seguir tem que ser nulo:

$\Large\begin{vmatrix}\tt x & \tt y&\tt 1\\\tt 7&\tt-3&\tt 1\\\tt 4&\tt -1&\tt 1\end{vmatrix}.$

Vamos igualar o determinante a zero e encontrar a equação geral da reta que passa por A e B:

$\Large\begin{aligned}&\begin{vmatrix}\tt x & \tt y&\tt 1\\\tt 7&\tt-3&\tt 1\\\tt 4&\tt -1&\tt 1\end{vmatrix}=\tt 0\\\\&\tt x(-3+1)-y(7-4)+1(-7+12)=0\\\\&\tt-2x-3y+5=0\\\\&\boxed{\tt 2x+3y-5=0}\end{aligned}$

Obs.: Perceba que o determinante foi calculado usando o teorema de Laplace na primeira linha.

Portanto, a equação geral da reta que contém os pontos A e B dados é

$\Large\boxed{\boxed{\tt 2x+3y-5=0.}}$

Consequentemente, a alternativa correta é a letra a.

Espero ter ajudado!

Answer 2

$\huge\begin{vmatrix}7&-3&1\\4&-1&1\\x&y&1\end{vmatrix}=0$

$\mathsf{7(-1-y)+3(4-x)+1(4y+x)=0}\\\mathsf{-7-7y+12-3x+4y+x=0}$

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{2x+3y-5=0}}}}$