Question

Determine a equação da reta que passa pelos pontos (1,2) e (5,3)

Answer 1

Olá Caril!

sabemos que uma reta qualquer tem esse formato:

Y = ax + b

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O meio mais facil de encontrar o valor de "a" é:

Você calcular a variação em y divido pela variação em "x"

Ou seja, tendo um ponto qualquer...

o valor de x e y estão nessa ordem:

P = (x, y)

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No entanto, temos dois pontos.

P1 = (1,2) ← x1 = 1 e Y1 = 2

P2 = (5,3) ← x2 = 5 e Y2 = 3

$\\ a = \frac{y2-y1}{x2-x1} \\ \\ a = \frac{3-2}{5-1} \\ \\ a= \frac{1}{4}$

Agora para acharmos o valor de "b" basta escolhermos qualquer um dos pontos. e substituir na reta.


$\\ Y = ax + b \\ \\ Y = \frac{1}{4} *x+b$

Para Ponto = (1,2)


$\\ 2 = \frac{1}{4} *1+b \\ \\ 2= \frac{1}{4} +b \\ \\ b =2 - \frac{1}{4} \\ \\ b = \frac{8}{4} -\frac{1}{4} \\ \\ b = \frac{7}{4}$

No entanto a equação da reta será:




$Y = \frac{1}{4} x+ \frac{7}{4}$

Answer 2

É possível solucionar essa questão com diversos métodos, dentre estes, você pode utilizar a seguinte equação:
$y-y'= m \cdot (x-x')$

Onde: m= coeficiente angular (razão entre a variação de y pela variação de x); x' e y'= par ordenado; x e y= variáveis.

Encontrando a reta:
$y-y'= m \cdot (x-x') \\ \\ y-2= \frac{3-2}{5-1} \cdot (x-1) \\ \\ y-2= \frac{1}{4} \cdot (x-1) \\ \\ 4 \cdot (y-2) = x-1 \\ \\ 4y-8= x-1 \\ \\ 4y= x-1+8 \\ \\ 4y= x+7 \\ \\ \boxed{y= \frac{x+7}{4}}$

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Outro método seria utilizando a ideia de determinante, onde teremos a seguinte matriz:
$A= \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\5&3&1\\x&y&1\end{array}\right]$

Sendo o seu determinante igual a zero, teremos a condição de reta (pontos alinhados) satisfeita.

Observação.: a primeira coluna foi preenchida com as coordenadas das abscissas (x), sendo que o último ponto é genérico; a segundo coluna foi preenchida com as coordenadas das ordenadas (y), sendo que o último ponto é genérico; e a última coluna foi preenchida com 1 para completar uma matriz quadrada.

Portanto, calculando o determinante e encontrando a reta:
$Det ~A = \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\5&3&1\\x&y&1\end{array}\right] ~\to ~ 0= \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\5&3&1\\x&y&1\end{array}\right] \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\5&3&1\\x&y&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1&2\\5&3\\x&y\end{array}\right] = 0 \\ \\ \\ (3 + 2x+5y)-(3x+y+10)= 0 \\ \\ 3+2x+5y-3x-y-10= 0 \\ \\ -x+4y-7= 0 \\ \\ 4y= x+7 \\ \\ \boxed{y= \frac{x+7}{4}}$

Observação²: é difícil demonstrar como funciona o cálculo  de determinante por aqui, mas é basicamente dobrar a primeira e a segunda coluna e, após isso, multiplicar as diagonais de cima para baixo (as 3 diagonais) e também as diagonais de baixo para cima (as 3 diagonais), e depois apenas subtrair a diagonal principal pela diagonal secundária.

O segundo método é mais prático e não precisa saber fórmulas, mas fica a seu critério.