Question

Determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é perpendicular a reta r em cada um dos seguintes casos:

A) P(2,7) e equação de r: 2x-8y+3=0
B) P(4,4) e equação de r: 5x-y-1=0
C) P(3,5) e equação de r: x+y-4=0

Answer 1

Duas retas são perpendiculares se seus coeficientes angulares forem opostos e inversos.

Por exemplo, se o coeficiente angular de uma reta for m = 2/3, então uma outra reta será perpendicular a ela se o seu coeficiente angular for m = -3/2.

a) Vamos encontrar o coeficiente angular da reta dada. Para isso, basta isolarmos y:

$2x-8y+3=0\Rightarrow 8y=2x+3\Rightarrow y=\dfrac{2x+3}{8}\Rightarrow\\ \\ \\ y=\dfrac{2x}{8}+\dfrac{3}{8}\Rightarrow y=\dfrac{\not 2x}{\not 8}+\dfrac{3}{8}\Rightarrow y=\dfrac{x}{4}+\dfrac{3}{8}\Rightarrow y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{8}$

Portanto, o coeficiente angular da reta dada é m = 1/4 e o coeficiente angular da reta perpendicular a ela deve ser o oposto do inverso, ou seja, m = -4.

Vamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto P(2,7) através da fórmula  do coeficiente angular:

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\Rightarrow m=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}\Rightarrow y-y_0=m(x-x_0)\Rightarrow\\ \\ \\ y-7=-4(x-2)\Rightarrow y-7=-4x+8\Rightarrow -4x-y+8+7=0\Rightarrow\\ \\ -4x-y+15=0$

Portanto, a equação procurada é -4x - y + 15 = 0.


b) Vamos encontrar o coeficiente angular da reta dada. Para isso, basta isolarmos y:

$5x-y-1=0\Rightarrow y=5x-1$

Portanto, o coeficiente angular da reta dada é m = 5 e o coeficiente angular da reta perpendicular a ela deve ser o oposto do inverso, ou seja, m = -1/5.

Vamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto P(4,4) através da fórmula  do coeficiente angular:

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\Rightarrow m=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}\Rightarrow y-y_0=m(x-x_0)\Rightarrow\\ \\ \\ y-4=-\dfrac{1}{5}(x-4)\Rightarrow y-4=-\dfrac{x}{5}+\dfrac{4}{5}\Rightarrow -\dfrac{x}{5}-y+\dfrac{4}{5}+4=0\Rightarrow\\ \\ \\ -\dfrac{x}{5}-y+\dfrac{4+20}{5}=0\Rightarrow -\dfrac{x}{5}-y+\dfrac{24}{5}=0$


Portanto, a equação procurada é -x/5 - y + 24/5 = 0.


c) Vamos encontrar o coeficiente angular da reta dada. Para isso, basta isolarmos y:

$x+y-4=0\Rightarrow y=-x+4$

Portanto, o coeficiente angular da reta dada é m = -1 e o coeficiente angular da reta perpendicular a ela deve ser o oposto do inverso, ou seja, m = 1.

Vamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto P(3,5) através da fórmula  do coeficiente angular:

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\Rightarrow m=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}\Rightarrow y-y_0=m(x-x_0)\Rightarrow\\ \\ \\ y-5=1(x-3)\Rightarrow y-5=x-3\Rightarrow x-y-3+5=0\Rightarrow\\ \\ \\ x-y+2=0$


Portanto, a equação procurada é x - y + 2 = 0.