Question

Determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é perpendicular aà reta r em cada

caso:

a) P(-3, 2) e r: 3x + 4y – 4 = 0

b) P(2, 6) e r: 2x – y + 3 = 0​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Para resolver essa questão, você precisa saber de duas coisas.

A primeira é que todas as retas que existem são do tipo $y=a*x+b$, onde $a$ é o coeficiente angular da reta (quão inclinada a reta é), $b$ é o ponto que a reta cruza o eixo y e que são números quaisquer.

A segunda coisa é que, se existem duas retas que são perpendiculares, a multiplicação dos coeficientes angulares delas é sempre -1. Ou seja, se tem uma reta $y_{1} =a_{1}*x+b_{1}$ e outra $y_{2} = a_{2}*x+b_{2}$ e elas forem perpendiculares, significa que $a_{1}*a_{2}=-1$.

Sabendo disso, vamos pegar a alternativa (a) como exemplo. Para saber qual é o coeficiente angular da reta r, basta isolarmos y. Teremos

$3x+4y-4=0\\4y = -3x+4\\y = -\frac{3}{4}*x + 1$

Ou seja, o coeficiente angular da reta r é $-\frac{3}{4}$. E para descobrir o coeficiente angular da reta perpendicular a ela, basta dizermos que

$a*(-\frac{3}{4} ) =-1\\\frac{-3a}{4} = -1\\-3a=-4\\a = \frac{4}{3}$

Até agora sabemos que a reta perpendicular é $y=\frac{4}{3}*x+b$ e portanto só falta encontrarmos o valor de $b$. Para isso, vamos utilizar o ponto P(-3, 2) dado. O ponto P significa que, quando x tem valor -3, a função terá valor 2. Então, substituindo os valores teremos

$y=\frac{4}{3}*x+b\\2=\frac{4}{3}*(-3)+b\\2 = \frac{-12}{3} + b \\2 = -4 +b\\b=6$

Finalmente, descobrimos qual é a função da reta perpendicular a r e que passa pelo ponto P, sendo $y=\frac{4}{3}*x + 6$. Para ficar com a mesma forma da reta r, vamos multiplicar todo mundo por 3 e jogar todo mundo para o lado esquerdo. Fica:

$y=\frac{4}{3}*x+6\\3*y=4*x +18\\-4x+3y - 18 =0$

Agora é sua vez para resolver a letra (b).