Question

Determine a equação da reta que passa pelo ponto
p(2,1) e forma um ângulo de 45° com a reta de equação y=5x+3.

Answer 1

Olá.

O exercício nos forneceu:

$\left\{ \begin{matrix} P(2,1) \\ \theta =45^{ o } \\ r:y=5x+3 \end{matrix} \right.$

Primeiro vamos achar o coeficiente angular da reta r que já está subtendido:


$m_{ r }=5$


Agora basta fazer:

$tg\theta =\begin{vmatrix} \frac { m_{ s }-m_{ r } }{ 1+m_{ s }*m_{ r } } \\ \end{vmatrix}$

Substituindo os dados que temos acharemos o ms:

$45^{ o }=\begin{vmatrix} \frac { m_{ s }-5 }{ 1+m_{ s }*5 } \\ \end{vmatrix}\\ \\ \\ \quad \quad 1=\begin{vmatrix} \frac { m_{ s }-5 }{ 1+5m_{ s } } \\ \end{vmatrix}\\ \\ \\ 1=\frac { (m_{ s }-5)^{ 2 } }{ (1+5m_{ s })^{ 2 } } \\ \\ (1+5m_{ s })^{ 2 }=(m_{ s }-5)^{ 2 }\\ \\ 1+10m_{ s }+25m_{ s }^{ 2 }=m_{ s }^{ 2 }-10m_{ s }+25\\ \\ \\ 24m_{ s }^{ 2 }+20m_{ s }-24=0$

Dividindo toda a equação por 4:


$6m_{ s }^{ 2 }+5m_{ s }-6=0$


As raízes são:

$m_{ s }=\frac { 2 }{ 3 } \quad ou\quad m_{ s }=-\frac { 3 }{ 2 }$


Agora basta usar o yoyomixoxo e achar as equações:

$y-yo=m(x-xo)\\ \\ y-1=\frac { 2 }{ 3 } (x-2)\\ \\ 3y-3=2x-4\\ \\ \boxed {2x-3y-1=0}$

$y-1=-\frac { 3 }{ 2 } (x-2)\\ \\ 2y-2=-3x+6\\ \\ \boxed {3x+2y-8=0}$