Question

Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (-1, 7) e é tangente à circunferência *

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, a equação da reta s é:

$\Large \boldsymbol{ \textstyle \sf s: \:y = \dfrac{3x}{4} + \dfrac{31}{4} }$

Sendo o primeiro item correto.

A reta e a circunferência possuem apenas um ponto em comum, dizemos que a reta é tangente à circunferência.

O raio da circunferência que contém o ponto P forma um ângulo de 90° com a reta tangente.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf s: = \:?\: \\ \sf P\: (-1,7) \\ \sf \lambda: (x -2)^2 + ( y - 3)^2 = 25 \end{cases}$

Equação da circunferência de (a, b) e raio r:

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf (x -a)^2 + (y - b)^2 = r^2 }}$

Primeiramente vamos verificar a posição relativa do ponto P em relação à circunferência.

C ( 2, 3 ) e raio r = 5. Calcularemos a distância do centro até o ponto P ( -1, 7 ).

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{C,P } = \sqrt{(x_P - x_C)^2+(y_P - y_C)^2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{C,P } = \sqrt{(-1 - 2)^2+(7 - 3)^2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{C,P } = \sqrt{(-3)^2+(4)^2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{C,P } = \sqrt{ 9+16} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{C,P } = \sqrt{ 25} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{C,P } = 5 } }$

Quando  $\boldsymbol{ \displaystyle \sf d =r }$, a reta $\boldsymbol{ \displaystyle \sf s }$ é tangente à circunferência, ou seja,  toca em apenas um ponto da circunferência.

Determinar o coeficiente angular $\boldsymbol{ \displaystyle \sf m_r }$ da reta que passa pelos $\boldsymbol{ \displaystyle \sf C\: ( 2,3) }$ e $\boldsymbol{ \displaystyle \sf P\: (-1,7) }$:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m_r = \dfrac{y_P - y_C}{x_P - x_C} = \dfrac{7 - 3}{-1 - 2} = - \:\dfrac{4}{3} } }$

Determinar o coeficiente angular $\boldsymbol{ \displaystyle \sf m_1 }$:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m_s = -\:\dfrac{1}{m_r} = -\: \dfrac{1}{-\: \dfrac{4}{3} } = \dfrac{3}{4} } }$

Calculamos a gora a equação da reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf s }$ que passa $\boldsymbol{ \textstyle \sf P \: ( - 1, 7 ) }$ e tem declividade $\boldsymbol{ \textstyle \sf m_s = 3/4 }$:

$\Large \displaystyle \mathsf{ y - y_P = m_s \cdot (x - x_P) }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y - 7 = \dfrac{3}{4} \cdot (x - (-1)) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y - 7 = \dfrac{3}{4} \cdot (x+ 1) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y - 7 = \dfrac{3 x}{4} + \dfrac{3}{4} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{3 x}{4} + \dfrac{3}{4} + 7 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{3 x}{4} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{28}{4} } }$

$\Large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf s: \: y = \dfrac{3x}{4} + \dfrac{31}{4} }} }$

Alternativa correta é o primeiro item.

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