Question

Determine a equação da reta que passa pela origem do sistema do coordenadas e seu vetor direção tem ângulos diretores agudos e congruentes.

Answer 1

Queremos encontrar uma equação da reta r, de modo que

     •  a reta r passe pela origem, que é o ponto O(0, 0, 0)

     •  o vetor diretor $\mathsf{\overset{\to}{v}}$ tem ângulos diretores agudos e congruentes.


Como $\mathsf{\overset{\to}{v}}$ tem ângulos diretores α, β e γ congruentes, ele é paralelo ao vetor cujas coordenadas são os cossenos diretores:

     $\mathsf{\overset{\to}{v}\parallel (cos\,\alpha,\,cos\,\beta,\,cos\,\gamma)}$


Mas como os ângulos são iguais, logo os cossenos também são iguais:

     $\mathsf{\overset{\to}{v}\parallel (cos\,\alpha,\,cos\,\alpha,\,cos\,\alpha)}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{v}\parallel cos\,\alpha\cdot (1,\,1,\,1)}$

Então, podemos tomar como vetor diretor para reta o vetor $\mathsf{\overset{\to}{v}=(1,\,1,\,1).}$


Como já temos um ponto e o vetor diretor da reta, podemos escrever uma equação vetorial para a reta r:

     $\mathsf{r:~X=O+\lambda\overset{\to}{v}}\\\\ \mathsf{r:~(x,\,y,\,z)=(0,\,0,\,0)+\lambda\cdot (1,\,1,\,1)\qquad com~\lambda\in\mathbb{R}.}$


Podemos representar essa reta por meio de equações paramétricas também:

     $\mathsf{r:~(x,\,y,\,z)=(\lambda,\,\lambda,\,\lambda)}\\\\\\ \mathsf{r:}~\left\{\begin{array}{l}\mathsf{x=\lambda}\\\mathsf{y=\lambda}\\\mathsf{z=\lambda} \end{array}\right.\qquad \mathsf{com~\lambda\in\mathbb{R}}$


ou ainda as equações simétricas:

     $\mathsf{r:~\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{1}}$


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Bons estudos! :-)