Question

Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 3y+x=6 e tangente ao gráfico de f(x)=x²-4x.

Answer 1

Resposta:

$4y-12x=-49$

Explicação passo-a-passo:

Lembre-se que duas restas são perpendiculares se, e somente se o produto de seus coeficientes angulares for igual a $-1$.

Primeiro determinaremos o coeficiente angular $m$ da reta definida pela equação $3y+x=6$.

$3y+x=6 \Rightarrow 3y=-x+6 \Rightarrow y=-\frac{1}{3}x+ 2$

Logo, $m=-\frac{1}{3}$.

Agora, como $m \cdot m_t=-1$,, isto é, $(-\frac{1}{3}) \cdot m_t =-1$ concluímos que $m_t=3$. Por outro lado, $m_t = f'(x)=2x-4$. Daí,

$3=2x-4 \Rightarrow 2x=3=4 \Rightarrow x=\frac{7}{2}$

Assim, $x=\frac{7}{2}$ é a abscissa do ponto de tangencia entre a reta desejada e a curva $f(x)=x^2 -4x$. Determinaremos agora a ordenada deste ponto:  

$f(\frac{7}{2})=(\frac{7}{2})^{2}-4(\frac{7}{2})=\frac{49}{4}-14=\frac{49-56}{4}=-\frac{7}{4}$

Por fim, a equação da reta tangente a $f(x)$  é  $y-y_0=m_t(x-x_0)$, onde $(x_0 , y_0)=(\frac{7}{2}, -\frac{7}{4})$

$y-(-\frac{7}{4})=3(x-\frac{7}{2}) \\\Rightarrow y+\frac{7}{4}=3x-\frac{21}{2}\\\Rightarrow y-3x= -\frac{21}{2}-\frac{7}{4}\\ \Rightarrow y-3x= -\frac{49}{4}\\\Rightarrow 4y-12x= -49.$

Portanto, $4y-12x= -49$ é a equação desejada.