Question

Determine a equaçao da reta ou retas que passam pelo ponto P(6,0) e são tangentes à circuferencia (x-1)^2 + y^2 = 5.

Answer 1

( x -1)² +y² = (√5)²

P( 6,0)

 Vamos chamar de m o coeficiente angular, então teremos:

$m=\frac{y-y'}{x-x'}\\\\m=\frac{y-0}{x-6}\\\\m=\frac{y}{x-6}\\y = m.x-6.m$

 Substituindo o valor de y na equação da circunferência:

$(x-1)^2+(m.x-6.m)^2=5\\x^2-2.x+1+(m.x)^2-12.m^2.x+36.m^2=5\\x^2+m^2.x^2-2.x-12.m^2.x+1+36.m^2-5=0\\(m^2+1).x^2-2.x.(6.m^2+1)+4.(9.m^2-1)=0$

 Para que a reta seja tangente, então ela deve passar apenas por um ponto da equação, então para isso devemos ter Δ = 0

$V = b^2 -4.a.c\\\\V = ( 6.m^2 +1)^2 -4.( m^2 +1).( 9.m^2 -1)\\( 6.m^2 +1)^2 -4.( m^2 +1).( 9.m^2 -1) = 0\\36.m^4+12.m^2+1-4.(9.m^4+8.m^2-1)=0\\36.m^4+12.m^2+1-36.m^4-32.m^2+4=0\\-20m^2+5=0\\20.m^2=5\\m^2=\frac{1}{4}\\m=\sqrt{\frac{1}{4}}\\\\m'=\frac{1}{2}\\m''=-\frac{1}{2}$

 Logo, teremos duas equações tangentes a circunferência, uma onde m = 1/2 e outra onde m = -1/2

y' = x/2 -3

y'' = -x/2 +3

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