Question

Determine a equação da reta normal curva C : xy² +y³ = 2x- 2y +2 no ponto em que abcissa e ordenada tem o mesmo valor.

Answer 1

1. Encontrar o ponto com coordenadas (x,x)

xy² + y³ = 2x - 2y + 2
 
Substituindo por x = x e y = x

x * x² + x³ = 2x - 2x + 2
x³ + x³ = 2
2x³ = 2
x³ = 1
x = 1

Então o ponto é (1,1)
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2. Equação da reta normal

A reta normal é aquela perpendicular a reta tangente da curva. A equação da reta tangente é dada por:

y = f(x) + f'(x) * x

onde f'(x) é a derivada de y com relação a x, por isso vamos calculá-la de forma implicita:

xy² + y³ = 2x - 2y + 2

xy² + y³ - 2x + 2y = 2

d(xy² + y³ - 2x + 2y)/dx = d(2)/dx

y²dx/dx + 2xy dy/dx + 3y² dy/dx - 2 dx/dx + 2 dy/dx = 0

y² + 2xy dy/dx + 3y² dy/dx -2 + 2 dy/dx = 0

Isolando dy/dx

2xy dy/dx+ 3y² dy/dx+ 2 dy/dx = 2 - y²

dy/dx (2xy +3y² + 2) = 2 - y²

dy/dx = (2 - y²)/(2xy +3y² + 2)

f'(x) = dy/dx, Vamos calcular f'(x) no ponto (1,1)

f'(1) = (2-1)/(2+3+2) = 1/7

Então a equação da reta tangente é dada por:

y = 1/7x + b

Quando x=1, y deve ser 1, então:

1 = 1/7 + b
b = 1 - 1/7
b = 6/7

Logo a equação da reta tangente é:

y = 1/7x + 6/7

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A relação entre o coeficiente angular da reta tangente e da reta normal é dado por:

Atangente * Anormal = -1
1/7 * Anormal = -1
Anormal = -7

Então a reta normal é da forma:

y = -7x + b

Como (1,1) deve satisfazer, então

1 = -7 + b
b = 8

Logo a equação da reta normal é dada por

y = -7x + 8