Matemática, perguntado por samiramenin, 11 meses atrás

Determine a equação da reta de 135 graus de inclinação e que passa pelo ponto A (1,4)

Soluções para a tarefa

Respondido por JulioPlech

Resposta:

A equação da reta é x + y - 5 = 0.

Explicação passo-a-passo:

Vamos obter primeiro o valor do coeficiente angular:

$m = \tan( \alpha ) \\ m = \tan(135°) \\ m = - \tan(45°) \\ \boxed{m = - 1}$

Equação da reta:

$\boxed{y-y_0=m(x-x_0)}$

Substituindo o ponto A(1, 4) na equação, sabendo que x = 1 e y = 4:

$y-4=-1(x-1) \\ y-4=-x+1 \\ x+y-4-1=0 \\ \boxed{\boxed{x+y-5=0}}$

Para comprovar que a equação encontrada está correta, basta substituir o ponto A(1, 4) na equação:

$x+y-5=0 \Rightarrow 1+4-5=0 \Rightarrow \boxed{0=0}$

Verificada a igualdade, também precisamos confirmar o seu coeficiente angular. Para isso, vamos obter a equação reduzida da reta. Acompanhe:

$x+y-5=0 \\ \boxed{y=-x+5}$

Note que o número à frente de x é, de fato, -1, como encontramos no início da questão (valor de m).

Logo, comprovamos que a questão está correta.

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação da reta em sua forma reduzida é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: y = -x + 5\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} A(1, 4)\\\theta = 135^{\circ}\end{cases}$

Para montarmos a equação da reta devemos utilizar a forma fundamental da reta, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{A} = m_{r}\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$}$

Se:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{r} = \tan\theta\end{gathered}$}$

Então, podemos reescrever a equação "I", como sendo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{A} = \tan\theta\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$}$

Desta forma temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{A} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 4 = \frac{\sin135^{\circ}}{\cos135^{\circ}}\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 4 = \frac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{-\sqrt{2}}{2}}\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 4 = \frac{\sqrt{2}}{\!\diagup\!\!\!\!2}\cdot\bigg(-\frac{\!\diagup\!\!\!\!2}{\sqrt{2}}\bigg)\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 4 = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 4 = -1\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 4 = -x + 1\end{gathered}$}$

Chegando neste ponto devemos saber qual deve ser a forma final da equação. Como não foi enfatizado a forma final, vou deixar a equação em sua forma reduzida. Para isso, devemos isolar a incógnita "y" no primeiro membro, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = -x + 1 + 4\end{gathered}$}$