Question

Determine a equação da reta a que contém P(2.1) e é perpendicular à reta 2x-y+2=0.
​

Answer 1

Portanto, podemos concluir que a equação geral da reta r, que passa por P e s é perpendicular é $\large \displaystyle \mathsf{ r: x+2y - 4 = 0 }$ e  o ponto de intercepção nas retas r e s são: $\large \displaystyle \mathsf{ I( 0,2) }$.

A figura em anexo mostra a reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$, de inclinação $\boldsymbol{ \textstyle \sf \alpha_1 }$, e a reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf s }$, de inclinação $\boldsymbol{ \textstyle \sf \alpha_2 }$, tal quer $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf s }$perpendiculares.

No triângulo $\boldsymbol{ \textstyle \sf APB }$ , temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \alpha_2 = \alpha_1 +90^\circ \Rightarrow \tan{\alpha_2} = \tan( \alpha_1 +90^\circ) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\tan{\alpha_2} = \dfrac{\sin(\alpha_1 +90^\circ)}{\cos(\alpha_1 +90^\circ)} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\tan{\alpha_2} = \dfrac{ \sin{\alpha} \cdot \cos{90^\circ} + \sin{90^\circ} \cdot \cos{\alpha_1} }{\cos{\alpha_1} \cdot \cos{90^\circ} - \sin{\alpha_1} \cdot \sin{90^\circ}} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\tan{\alpha_2} = \dfrac{ \sin{\alpha} \cdot 0 + 1 \cdot \cos{\alpha_1} }{\cos{\alpha_1} \cdot 0 - \sin{\alpha_1} \cdot 1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\tan{\alpha_2} = \dfrac{ 0 + \cos{\alpha_1} }{0 -\sin{\alpha_1} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\tan{\alpha_2} = -\;\dfrac{ \cos{\alpha_1} }{\sin{\alpha_1} } = -\: \cot{\alpha_1} = - \: \dfrac{1}{\tan{\alpha_1}} } }$

Como $\boldsymbol{ \textstyle \sf \tan{\alpha_2} = m_2 }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf \tan{\alpha_1} = m_1 }$, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m_2 = -\: \dfrac{1}{m_1} \quad ( com ~ m_1, m_2 \neq 0) } }$

Dadas as retas $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf s }$, de coeficientes angulares $\boldsymbol{ \textstyle \sf m_1 }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf m_2 }$, temos:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ r \perp s \Leftrightarrow m_2 = -\: \dfrac{1}{m_1} ~ou~r \perp s \Leftrightarrow m_1 \cdot m_2 = -\: 1 } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf P(2,1) \\\sf s: 2x - y = 0 \end{cases} } }$

Calculo do coeficiente angular $\boldsymbol{ \textstyle \sf m_s }$, da reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf s }$, rescrevendo na equação reduzida.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2x - y + 2 = 0 \Rightarrow y = \raisebox{0.8pt}{\Large\textcircled{\normalsize\sf 2}} x + 2 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_s = 2 }$

Cálculo do coeficiente angular $\boldsymbol{ \textstyle \sf m_r }$ da reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$ sendo $\boldsymbol{ \textstyle \sf r \perp s }$:

$\Large \displaystyle \boldsymbol{ \text { \mathsf{ m_r = -\: \dfrac{1}{m_s} = -\: \dfrac{1}{2} } }}$

Equação da reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$:

$\Large \displaystyle \mathsf{ y -y_0 = m_r \cdot(x -x_0) }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y -1 = -\: \dfrac{1}{2} \cdot(x - 2) } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2\cdot (y -1) = -\:1 \cdot (x - 2) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2y - 2 = - x + 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x +2y - 2 - 2 = 0 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf r: x + 2y - 4 = 0 }$

Mais conhecimento acesse:

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Answer 2

✅ Após resolver a questão, concluímos que a equação da reta "s" perpendicular à reta "r", passando pelo ponto "P" é:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf s: x + 2y - 4 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

             $\Large\begin{cases} P(2, 1)\\r: 2x - y + 2 = 0\\s: \,\:?\end{cases}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Recuperar o coeficiente angular da reta "r".

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - y + 2 = 0\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} -y = -2x - 2\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 2x + 2\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{r} = 2\end{gathered}$

• Montar a equação da reta "s".

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \textrm{Se}\:r\perp s \Longleftrightarrow m_{r}\cdot m_{s} = -1\Longrightarrow m_{s} = -\frac{1}{m_{r}}\end{gathered} }$

        Desta forma, devemos montar a equação da reta "s" sobre a seguinte fórmula:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - y_{P} = -\frac{1}{m_{r}}\cdot(x - x_{P})\end{gathered} }$

        Substituindo os valores na equação "I", temos:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = -\frac{1}{2}\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = \frac{-x}{2} + \frac{2}{2}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = \frac{-x + 2}{2}\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot(y - 1) = -x + 2\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2y - 2 = -x + 2\end{gathered}$

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x + 2y - 2 - 2 = 0\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x + 2y - 4 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta "s" é:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} s: x + 2y - 4 = 0\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$